1. Огторгуйд бөмбөлөг ба түүнийг шүргэдэг хоёр хавтгай өгөгдөв. Гурвууланг нь шүргэдэг бөмбөлгийн төв бэхлэгдсэн эллипс дээр оршино гэж батал.

2. $n$ натурал тоо гэе. Төгсгөлөг $X$ олонлог дээр тодорхойлогдсон $f_{1}$, $f_{2}$, $\dots$, $f_{n}$ ба $g_{1}$, $g_{2}$, $\dots$, $g_{n}\colon X \to [0, 1]$ функцүүд дурын $1 \le i$, $j \le n$ хувьд
\[
\sum_{x \in X} f_{i}(x) = \sum_{x \in X} g_{j}(x) = S\quad\text{ба}\quad \sum_{x \in X} f_{i}(x) g_{j}(x) = |i-j|
\]
нөхцөлийг хангадаг гэе. Энд $[0, 1] = \{0 \le t \le 1\}$ завсар.

1. $S \ge n-1$ гэж батал.
   


2. $S = n -1$ хувьд дээрх нөхцөл хангах төгсгөлөг $X$ олонлог болон $f_{1}$, $f_{2}$, $\dots$, $f_{n}$ ба $g_{1}$, $g_{2}$, $\dots$, $g_{n}\colon X \to [0, 1]$ функцүүдийн жишээ байгуул.
   

3. $n$ натурал тоо гэе. $n \times n$ шатрын хөлгийн хэдэн нүдийг ногооноор будав. Дурын ногоон нүднээс эхэлсэн тэрэг нүүдэл болгондоо хэвтээ босоо чиглэлээ өөрчлөн, ногоон нүд дамжиж явахад зургаан нүүдлийн дотор анх эхэлсэн байрандаа ирж чаддаггүй байв. Энд байрнаасаа хөдлөхгүй байхыг тооцохгүй. Ногооноор будагдсан нүдний тоо $2n(1 +\sqrt[3]{n})$ тооноос бага гэж харуул.

4. Нэг шулуун дээр оршдоггүй аль ч гурван цэг нь мохоо өнцөгт гурвалжин үүсгэдэггүй байхаар хавтгайд хамгийн олондоо хэдэн цэгийг бүгд нэг шулуун дээр оршдоггүй байхаар байрлуулж болох вэ?

5. $n$, $m \geq 3$ сондгой тоонууд өгөгдөв. Аль ч дэс дараалсан $m$ ширхэг тооны нийлбэр $m$-ийн зэрэгт байхаар $mn-1$ ширхэг натурал тоог тойрог дээр бичив. Дарааллын ямар нэг гишүүн ядаж $m+1$ удаа давтаж бичигдсэн гэж харуул.

6. $-1 < x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$, $x_{n} < 1$ бодит тоонуудын нийлбэр $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0$ бол
\[
\displaystyle\sum_{i =1}^{n} \sum_{j =1}^{n}x_{i}x_{j}\sqrt{1 - x_{i}^{2}x_{j}^{2}} \le 0
\]
болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.