1. Ямар ч натурал $m$, $n$ тоонуудын хувьд $m^{4}+2mn+n^{2}-2021$ тоог хэдэн дараалсан натурал тооны үржвэрт тавьж болохгүй гэж батал.

2. $ABC$ гурвалжны дотор талд $AD=DC$ байх $D$ цэг авав. $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $B$ оройгоос $DM$ шулуун руу буулгасан перпендикуляр шулуун $AC$ шулууныг $N$ цэгт огтолно. $N$ цэгээс $CD$ шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурийг $L$ гэвэл $A$, $B$, $L$, $N$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.

3. $n \ge 3$ гэе. $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ бодит тоонуудын нийлбэрийг $S = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ гээд

гэсэн нөхцөлийг авч үзье. Мөн $m = \min\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ба $M = \max\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ гэе.

(i) $a_{1}, a_{2},\dots, a_{n}$ тоонууд $(*)$ нөхцөлийг хангахаар гүйх үед $M$ тооны авч болох хамгийн их утгыг ол.

(ii) $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ тоонууд $(*)$ нөхцөлийг хангахаар гүйх үед $m$ тооны авч болох хамгийн бага утгыг ол.

4. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээрх $D$ цэг ба $BC$ тал дээрх $E$ цэгийн хувьд $|AD|=|CE|$ ба $2|DE|=|AC|$ нөхцөлүүд биелдэг байв. Тэгвэл $BDE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусаас $2$ дахин бага гэж батал.

5. $ p\ge 3$ анхны тоо гэе. Багш самбарт $n = 2p$ ширхэг бүхэл тоо бичив. Сурагч эндээс нэг эсвэл түүнээс олон хэсэг тоо сонгон авч тэдний нийлбэрийг $n$-д хуваахад гарсан үлдэгдлийг дэвтэртээ бичнэ. Бүх боломжит сонголтод харгалзах $2^{n}-1$ ширхэг үлдэгдлийг бичихэд дэвтэрт $1, 2, \dots, p-1, p+1, \dots, n-1$ үлдэгдлүүд ижил тоотой бичигджээ.

Багшийн бичсэн тоонуудын нийлбэрийг $p$-д хуваагдана гэж батал.

6. Дурын бодит $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд
$${a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{2ab}{1 + |a-b|} \ge \dfrac{2bc}{1 + |b+c|} + \dfrac{2ca}{1 + |c+a|}$$
гэж батал.