1. $n^2+8n-2021$ тоо бүтэн квадрат байх хамгийн их $n$ бүхэл тоог ол.

Хариу: 1015

2. $f(x)=x^{2021}-x^{2020}-x^{2019}-\dots -x^{2}-x-1$ олон гишүүнтийг $g(x)=(x^2-1)(x-2)$ олон гишүүнтэд хуваахад гарах үлдэгдэл $r(x)$ бол $r(3) $ утгыг ол.

Хариу: 4042

3. Зуны амралтаараа 60 найз нэг нэгнийдээ зочлохоор төлөвлөжээ. Өдөр бүр тэдний гэртээ үлдээгүй нь гэртээ үлдсэн бүх найзындаа тэр өдөртөө зочилно. Тэгвэл хүн бүр бусад бүх найзындаа зочлохын тулд хамгийн цөөндөө хэдэн өдөр хэрэгтэй вэ?

Хариу: 8

4. Самбарт $A_1,A_2,\ldots,A_{57}$ цэгүүдэд оройтой гүдгэр $57$ өнцөгт зурсан байв. Дэвтэртээ гортиг шугам ашиглан түүнтэй тэнцүү 57 өнцөгт зурахын тулд $A_iA_j$ зайнуудаас хамгийн цөөндөө хэдийг мэдэх хэрэгтэй вэ?

Хариу: 111

5. $ABC$ гурвалжны талууд $AB =BC = 70$, $AC = 40$ байг. $P$, $Q$ цэгүүд
\begin{equation}
\begin{cases}
2AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} = AB^{2} + AC^{2}\\
2CQ^{2} + BQ^{2} + AQ^{2}= CB^{2} + CA^{2}
\end{cases}
\end{equation}
нөхцөлийг хангадаг байхаар хөдлөх үед $PQ$ хэрчмийн уртын авч болох хамгийн их утгыг ол.

Хариу: 55

6. $C$ нь эерэг бодит тоо байг. $|a x^2+ b x-1| \leq 1$ тэнцэл биш $|x| \leq 1$ мужид биелдэг байх ямар ч $a$, $b$ бодит тоонуудын хувьд $|2ax+b| \leq C$ тэнцэл биш $|x| \leq 1$ мужид мөн биелдэг. Тэгвэл $C$-ийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 4

7. $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $AB$ гипотенуз дээр буусан өндрийн суурь $H$, $AB$-ын дундаж $M$ цэг байг. $\angle HCM$-ийн биссектрисс $AB$ талтай $D$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $CD=5\sqrt{2}$ ба $AC+BC=30$ бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

Хариу: 75

Бодолт 1.

$CM$ тэгш өнцгөөс татсан медиан тул $\angle MBC=\angle BCM$, $\triangle ABC\sim\triangle ACH$ тул $\angle ACH=\angle ABC=\angle MBC$ ба
$\angle ACH=\angle BCM$ болно. Түүнчлэн $CD$ нь $\angle HCM$-ийн биссектрис тул өмнөх дүгнэлтээс $\angle ACB$-ийн биссектрис болно. Иймд $D$ цэгээс $AC$, $BC$ талуудад буулгасан перпендикулярууд $5\sqrt{2}\cos45^\circ=5$ урттай болж байна. Эндээс
$$S=S_{CDA}+S_{CDB}=\dfrac{AC+CB}{2}\cdot 5=\dfrac{30\cdot 5}{2}=75$$
болно.

8. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ олонлогийн дараах нөхцөлүүдийг хангах дэд олонлогуудын $(A_1, A_2, A_3, A_4)$ дөрөвтүүдийн тоог ол. Үүнд:

1. $A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4=A$


2. $1\leq i < j < k\leq 4$ байх $i$, $j$, $k$ бүрийн хувьд $A_i\cap A_j\cap A_k\neq\emptyset$


3. $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=\emptyset$.

Хариу: 51960