1. Нүднүүдэд нь $1$, $2$, \dots, $120$ тоонуудыг нэг, нэгээр нь нүд бүрд нь ялгаатай тоо байхаар бичсэн $2\times 60$ хэмжээтэй хүснэгтүүдийг авч үзье. Хүснэгтийн мөр, багана бүрийн хувьд тэнд бичигдсэн тоонуудын нийлбэр болох $62$ тоо бүгдээрээ тэгш тоо байвал тэгш хүснэгт, харин бүгдээрээ сондгой тоо байвал сондгой хүснэгт гэж нэрлэе. Бүх боломжит тэгш хүснэгтийн тоо ба бүх боломжит сондгой хүснэгтийн тооны аль нь их вэ?

2. $p \ge 3$ анхны тоо байг. $p \mid x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} + x_{4}^{4} + x_{5}^{4}$ бөгөөд $1 \le x_{1}$, \dots, $x_{5} \le p$ байх бүх натурал тоон $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$ тавтын тоог $p$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

3. $2 \times 2$ хэмжээтэй бүх бодит матрицын огторгуйг $\mathrm{M}_{2}(\Rset)$ гэж тэмдэглэе. $\mathrm{M}_{2}(\Rset)$ дээр матрицын ердийн нэмэх
\begin{align}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11}& a_{12} + b_{12}\\a_{21} + b_{21}& a_{22} + b_{22}
\end{pmatrix}
% \end{equation}
\intertext{ба үржих}
% \begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} b_{11} + a_{12}b_{21}& a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}& a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}
\end{align}
үйлдлүүдийг авч үзье. Дурын $A$, $B \in \mathrm{M}_{2}(\Rset)$ матрицын хувьд
\begin{equation}
\varphi(A + B^{2}) = \varphi(A) + \varphi(B)^{2}
\end{equation}
байдаг бүх $\varphi \colon \mathrm{M}_{2}(\Rset) \to \Rset$ буулгалтыг ол.

4. $ABC$ гурвалжны $AB$ талыг $B$ цэгт шүргэдэг $C$ оройг дайрсан $\omega$ тойрог татав. $\angle A$ өнцгийн дотоод биссектрисс $\omega$ тойрогтой $E$, $F$ цэгүүдэд, $BC$ талтай $D$ цэгт огтлолцох ба $F$ цэг $ABC$ гурвалжин дотор оршиж байв. $2\angle EBS=\angle BAC$ байх $S$ цэгийг $EC$ хэрчим дээр авав. Мөн $DT$ шулуун $CS$ шулуунтай параллел байх $T$ цэгийг $BS$ хэрчим дээр авав. $ET$ шулуун $\omega$ тойрогтой дахин $U$ цэгт огтлолцоно. $ABU$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AD$ шулууныг шүргэнэ гэж батал.

5. $n \ge 1$ хувьд $\displaystyle d_{n} = \sum_{k =0}^{2n} \dfrac{(-1)^{k}}{n+k} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} - \dots + \dfrac{1}{3n}$ гэвэл
\begin{equation}
\dfrac{2}{3n+1} < d_{n} < \dfrac{2}{3n-2}
\end{equation}
байна гэж харуул.

6. $A$, $B$ үсгээр бичигдсэн $S$ үгэнд агуулагдах хоорондоо үл огтлолцох $ABA$ дэд үгийн тооны хамгийн их утгыг $f(S)$ гэж тэмдэглэе. Жишээлбэл $f(ABBABBA) = 0$, $f(ABABABBA) = 1$, $f(ABABABA) = 2$ байна.

$n = 4k+1$ гэе. $S$ үг бүх $n$ урттай үгээр гүйх үеийн $f(S)$ утгуудын нийлбэрийг ол.