1. $0 \le a \le 1$ бол дурын бүхэл $m$, $n$ тоонуудын хувьд $m^{2} + 2amn + an^{2} \ge m + an$ болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.

2. $p\ge 5$ анхны тоо ба $f(x) = (x-1)(x^3-1) \dots (x^{p-4}-1) (x^{p-2}-1)$ гэе. $(p- 1)$-тэй харилцан анхны натурал $k$ тоо ба бүхэл $n$ тоо бүрийн хувьд $f(n^k) - f(n)$ ялгавар $p$-д хуваагдахыг харуул.

3. Дурын натурал тоог хэдэн натурал тооны нийлбэрт нэмэгдэхүүнүүдийн урвуугийн нийлбэр $4$-өөс хэтрэхгүй бүхэл тоо байхаар бичиж чадахыг харуул. Жишээлбэл $5 = 2 + 2 + 1$ ба $1/2 + 1/2 + 1/1 = 2 \le 4$ бүхэл.

4. Тэгээс ялгаатай $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын хувьд
\[
(ab-c)(bc-a)+(bc-a)(ca-b)+(ca-b)(ab-c) = 4abc
\]
адилтгал биелдэг бол эдгээр гурван тооны нийлбэр эсвэл эдгээр гурван тооны урвуунуудын нийлбэр 1 болохыг харуул.

5. $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дотор $D$, $E$ цэгүүдийг $D$ цэг $B$ болон $E$ цэгийн хооронд байхаар авав. $AD$ хэрчим дээр $\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{BE}{EC}$ байх $F$ цэг авав. $ABD$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AE$ хэрчимтэй $A$ цэгээс ялгаатай $G$ цэгт огтлолцоно. $EF$ ба $GC$ шулуунууд параллел бол $GE=EC$ гэж батал.

6. Нэг эгнээ болон жагссан $n \ge 3$ сурагч байв. Сурагчид санамсаргүйгээр зүүн эсвэл баруун гараа өргөнө. Дараалсан гурван сурагч бүрийн ядаж нэг нь баруун гараа өргөсөн байх магадлалыг $P_{n}$ гэвэл
\begin{equation}
P_{n} < \left(\dfrac{12}{13}\right)^{n-2}
\end{equation}
гэж харуул.