ММО-57, Ахлах ангилал (11-12 анги), II шат, II өдөр, F (11-12) ангилал
1. Бүхэл тоон коэффициенттой $f(X)$ олон гишүүнт авъя. Дурын бүхэл $n$ тоо ба анхны $p$ тооны хувьд $p \mid f(n)$ бол $p^{2} \mid f(n)$ байдаг гэе. Дурын бүхэл $k$ тооны хувьд $(X-k) \mid f(X)$ бол $(X-k)^{2} \mid f(X)$ гэж харуул.
Бодолт 1.
$(X-k) \mid f(X)$ гэе. Тэгвэл $f(X) = (X-k)g(X)$ гэж бичиж болно. Одоо $g(X) = g(k) + (X-k)h(X)$ гэж бичье. Дурын анхны $p$ тооны хувьд $f(k + p) = p(g(k) + ph(k+p))$ гэдгээс $p \mid f(k+p)$ болно. Бодлогын нөхцөлөөс $p^{2} \mid f(k+p)$ болох тул $p \mid g(k)$ байна. Энд $p$ дурын байсан тул $g(k) = 0$ байна. Иймд $(X-k)^{2} \mid f(X)$ байна.
Үнэлгээний аргачлал:
- $k = 0$ гэж үзэж болно гэж харуулсан эсвэл $f(X) = a_{1}(X-k) + (X-k)^{2}h(X)$ хэлбэртэй бичсэн бол $3$ оноо.
- Бүтэн бодолт $7$ оноо.
2. Баруун, зүүн талаасаа адилхан уншигдах үгийг тэгш хэмтэй гэе. Хоёр үсгээр бичигдэх дөрвөөс хэтрэхгүй ширхэг тэгш хэмтэй дэд үгэнд хувааж болдоггүй хамгийн бага урттай үгийн уртыг ол.
Бодолт 1.
Хариу: $11$.
Аль нэг үсэг нь хоёроос олонгүй орсон үгийг хоёроос хэтрэхгүй тэгш хэмтэй дэд үгэнд хувааж болно. Эндээс $5$ урттай ямар ч үгийг хоёроос хэтрэхгүй тэгш хэмтэй дэд үгэнд хувааж болно. Иймд $10$ урттай ямар ч үгийг дөрвөөс хэтрэхгүй тэгш хэмтэй үгэнд хувааж болно. Иймд дөрвөөс хэтрэхгүй тэгш хэмтэй үгэнд хуваагддаггүй $11$ урттай үг олоход хангалттай. Жишээлбэл: $aababbaabab$.
Жич: Дөрвөөс хэтрэхгүй тэгш хэмтэй үгэнд хуваагддаггүй $11$ урттай нийт дөрвөн үг байна: $aababbaabab$, $ababbaababb$, $babaabbabaa$, $bbabaabbaba$.
Үнэлгээний аргачлал:
- $5$ урттай ямар ч үгийг хоёроос хэтрэхгүй тэгш хэмтэй дэд үгэнд хувааж болохыг баталсан бол 3 оноо.
- $10$ урттай ямар ч үгийг дөрвөөс хэтрэхгүй тэгш хэмтэй үгэнд хувааж болохыг харуулсан бол 2 оноо.
- Дөрвөөс хэтрэхгүй тэгш хэмтэй үгэнд хуваагддаггүй $11$ урттай үг олсон бол 2 оноо.
Жич: Хэрэв тохиолдлуудад салгаж тооцсон (зөвхөн нэг үсгээс бүтсэн, нэг үсэг нь яг нэг удаа орсон, нэг үсэг нь яг хоёр удаа орсон гэх мэт) үед тус бүрд 1 оноо.
3. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $M$ цэгийг, $AC$ тал дээр $N$ цэгийг авжээ. $CM$, $BN$ хэрчмүүд $D$ цэгт огтлолцдог ба $BDM$, $BNC$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд дахин $E$ цэгт огтлолцдог гэе. Хэрэв $\angle BDM=\angle ACB$ бол $M$, $N$, $E$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.
Бодолт 1.
Ижил нумд тулсан учраас $\angle MEB=\angle MDB$, эсрэг нумд тулсан учраас $\angle BEN=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-\angle MEB$ болж $M$, $E$, $N$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино.
Үнэлгээний аргачлал:
- Бүтэн бодолт 7 оноо,
- Үсэг андуурч бичснийг засчихвал зөв бодолт болохоор бол 6 оноо,
- Цааш нь зөв гүйцээж болохуйц баталгааны санаа гаргасан бол 1 оноо,
- $\angle MEB=\angle MDB$ эсвэл $\angle BEN=180^\circ-\angle ACB$ гэж дурдсан бол 1 оноо,
- Тухайн тохиолдолд бодсон бол 0 оноо.
4. $12 \times 12$ хөлгийн нүд бүрийн төвд шагай байрлах ба Будагч, Няслагч хоёр тоглоом тоглов. Эхлээд Будагч хэдэн өнгийг ашиглан шагай бүрийг ямар нэг өнгөөр будна. Дараа нь Няслагч ижил өнгөтэй, хооронд нь өөр шагай байрлаагүй хоёр шагайн аль нэгийг нөгөөд нь шилжүүлж, шилжсэн шагайг өөртөө авна. Няслагч энэ үйлдлийг хийх боломжгүй болоx хүртлээ үргэлжлүүлэх ба үлдсэн бүх шагайг Будагч авна. Хэн олон шагайтaй нь хожно. Будагч ямагт хожиж чаддаг бол хамгийн багадаа хэдэн өнгө хэрэгтэй вэ?
Тайлбар: шагайг нүдний яг голд байрлах бөгөөд хангалттай жижиг гэж үзнэ, өөрөөр хэлбэл, $x$, $y$, $z$ гэж тэмдэглэсэн гурван шагайн хувьд $y$-ийн байрлах нүдний төв $x$ ба $z$-ийн байрлах нүднүүдийн төвийг холбосон хэрчим дээр орших үед л $y$ шагайг $x$, $z$ шагайнуудын хооронд байна гэж үзнэ. Няслагчийн үйлдлийг няслах гэж нэрлэвэл доорх жишээнд (зарим шагайг нясалж авсны дараа) улаан шагайнуудыг хооронд нь нясалж болно, ногоон шагайнуудыг нясалж болохгүй, шар болон цэнхэр шагайнуудын хувьд заримыг нь зарим руу нь нясалж болно, заримыг нь болохгүй.
Бодолт 1.
Шагайг дараах маягаар будахад Няслагч огт нясалж чадахгүй тул дөрөв ба түүнээс дээш өнгөөр будвал Будагч хожно.
Одоо гурваас хэтрэхгүй өнгөөр будвал Няслагч үргэлж хожиж чадна гэж харуулъя. Зэргэлдээ мөр эсвэл зэргэлдээ баганад байгаа шагайнуудын хооронд өөр шагай байхгүй гэдгийг анзааръя.
Улаан, цэнхэр, ногоон өнгөөр будсан гэе.
Ямар нэг $A$ мөрөнд гурван өнгө гурвуулаа орсон бол түүний зэргэлдээ мөрийг $A$ мөр рүү шилжүүлж болох ба үүнийг давтсаар ганц $A$ мөрийг үлдээж чадна. Иймд Няслагч хожно.
Ямар нэг $A$ мөрөнд дан нэг, жишээлбэл зөвхөн улаан, өнгө орсон бол бусад бүх мөрний улаан шагай $A$ мөрний улаан шагайтай зэргэлдээ багананд орших тул тэднийг $A$ мөр рүү шилжүүлж чадна. Дараа нь $A$ мөрний бүх шагайг сүүлийн багананд шилжүүлье. Одоо сүүлийн баганыг мартвал, бусад шагайнууд хоёр өнгөөр будагдсан ба аль нэг мөрөнд хоёр өнгө орсон бол тэр мөрийг үлдээж, бүх мөрөнд дан өнгө орсон бол нэг багана үлдээж нясалж чадна. Иймд Няслагч хожно.
Иймд мөр болгонд яг хоёр өнгө орсон гэе. Эхний хоёр мөрийг авч үзвэл нийт 3 өнгө байгаа тул ижил, жишээлбэл ногоон, өнгө олдоно. $1$-р мөрний ногоон шагайнуудыг $2$-р мөр рүү шилжүүлбэл $1$-р мөрөнд дан нэг өнгө үлдэх тул $1$ шагай үлдтэл нясалж чадна. Үүнийг $2$, $3$-р мөрөнд хийвэл $2$-р мөрөнд $1$ шагай үлдэнэ. Ингэж явсаар сүүлийн мөрнөөс бусад мөрөнд $1$ шагайтай болгож чадна. Иймд Няслагч хожно.
Үнэлгээний аргачлал:
- Өнгөний тоо (зөвхөн) 2 үед Няслагч хожно гэж баталсан бол $1$ оноо
- Өнгөний тоо $4$-өөс их буюу тэнцүү үед Будагч хожно гэж баталсан бол $2$ оноо
- Өнгөний тоо 3 үед Няслагч хожно гэж баталсан бол $5$ оноо
Бүтэн бодолт $7$ оноо.