1. Дурын $u$, $v$ эерэг тоонуудын хувьд
\[
\min\left\{u, \dfrac{100}{v}, v + \dfrac{2023}{u}\right\} \le \sqrt{2123}
\]
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал. Энд $\min X$ гэж $X$ олонлогийн хамгийн бага гишүүнийг тэмдэглэнэ.

2. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BD$, $CE$ өндрүүдийг татав. $BD$ хэрчим дээр $AD=DL$ байх $L$ цэгийг, $CE$ хэрчим дээр $AE=EK$ байх $K$ цэгийг авав. $KL$ хэрчмийн дундаж цэгийг $M$ гэе. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AL$ шулуунтай дахин $T$ цэгт, $AK$ шулуунтай дахин $S$ цэгт огтлолцоно. $BS$, $CT$, $AM$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.

3. Тэмцээнд таван охин, таван хөвгүүн оролцов. Дурын $1 \le i, j \le 5$ хувьд $i$ дугаартай охин ба $j$ дугаартай хөвгүүн хоёр хоёулаа таньдаг хүүхдийн тоо $|i - j|$ байдаг байхаар охидыг $1$, $2$, $\dots$, $5$ гэж, хөвгүүдийг мөн адил $1$, $2$, $\dots$, $5$ гэж дугаарлаж болдог байв. Охидын таньдаг хүүхдийн тооны нийлбэр ба хөвгүүдийн таньдаг хүүхдийн тооны нийлбэр хоёрын аль ихийг $S$ гэвэл $S$ тоо хамгийн багадаа хэд байж болох вэ? Танилын харилцаа чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл $A$ хүүхэд $B$ хүүхдийг таньдаг байлаа гээд $B$ хүүхэд $A$ хүүхдийг таних албагүй, ба хүүхдийг өөртэй нь танил гэж тооцохгүй.

4. Бүх бодит тооны олонлогийг $\mathbb R$ гэж тэмдэглэе. Дурын $x$, $y$, $z \in \mathbb R$ бодит тоонуудын хувьд
\[
f(x+y-z)^{2} = f(xy) + h(x+y+z, xy + yz + zx)
\]
байдаг бүх $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ ба $h \colon \mathbb R^{2} \to\mathbb R$ функцийг ол.

5. Ангид хэдэн хүүхэд байв. Аль ч зургаан хүүхдийг авахад хоорондоо найз биш хоёр хүүхэд олддог ба дурын ийм найз биш хос сонгоход хоёулантай нь найз хүүхэд үлдсэн дөрвөн хүүхэд дотор байдаг байв. Ангид хамгийн олондоо хэдэн хүүхэд байгаа вэ?

6. $m$ натурал тоо өгөгдөв. Тойрог дээр бичигдсэн, аль ч дэс дараалсан $m$ ширхэг тооны нийлбэр $m$-ийн зэрэгт байдаг натурал тоон дарааллыг сайн дараалал гэе.

1. $n \ge 2$ хувьд $mn$ урттай дурын сайн дарааллын $m$ ширхэг гишүүнийг дарж $mn-m$ урттай сайн дараалал үүсгэж болно гэж харуул.
   


2. $m^{2}$ урттай дурын сайн дарааллын ямар нэгэн гишүүн ядаж $m$ удаа давтаж бичигдсэн гэж харуул.