1. $(a+b)^2=a^3+b^3$ байдаг бүх бүхэл тоон $a\le b$ хосыг ол.

2. Элдэв талт$ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $B$ ба $C$ цэгээс ялгаатай $X$ цэг тэмдэглэв.$ABC$ гурвалжны $AL$ биссектрисийн хувьд $AX$ шулуунтай тэгш хэмтэй шулуун $BC$ шулууныг $Y$ цэгт огтолно. $AL$ хэрчмийн дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулуун $BC$ талтай $O$ цэгт огтлолцоно. $ABX$ ба $ACY$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргийн төвүүд болон $O$ цэг нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

3. $k$ натурал тоо гэе. Аль ч хоёрынх нь ялгавар $2023$-д хуваагддаггүй, дараах чанартай $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2021}$ бүхэл тоон дараалал оршин байдаг бол $k$ тоог сайн тоо гэж нэрлэе: ямар ч $a_i$ гишүүний хувьд $a_i - k a_{j}$ ялгавар $2023$-д хуваагддаг байх $a_{j}$ гишүүн олдоно.

$100$-аас хэтэрдэггүй бөгөөд тэгш хамгийн их сайн тоог ол.

4. $ABC$ гурвалжны $AC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэж тэмдэглэе. $ABC$ гурвалжны дотор талд $\angle BAP=\angle BCP$ байх $P$ цэг авав. $CP$ шулуун $AB$ талыг $R$ цэгт огтолдог гээд $B$ оройгоос $CP$ шулуунд буулгасан перпендикулярын суурийг $Q$ гэе. $Q$ цэг $ABC$ гурвалжин дотор орших ба $QM=PC/2$ бол $RQ=QP$ гэж батал.

5. $n\times n$ шатрын хөлгийн нүднүүдэд нүд бүрийн хөршүүдийн яг хоёр нь даамтай байхаар даамууд байрлуулж болдог бүх натурал $n$ тоог ол. Ерөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ.

6. $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд $0 \le a \le b \le c$ ба $a+b+c = 1$ байдаг бол
\[
ab\sqrt{b-a} + bc \sqrt{c-b} + ca \sqrt{c-a} < \dfrac{1}{4}
\]
гэж батал.