Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-59, II даваа I шат, F (11-12) ангилал

1. Натурал $n$ тооны хувьд $a_{n} = \dfrac{(2n)!}{(n!)^{3}}$ гэе. Энд $k! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times k$.


  1. $n \ge 3$ үед $a_{n} > a_{n+1}$ гэж батал.

  2. $a_{n}$ бүхэл байдаг бүх натурал $n$ тоог ол.

2. Хос хосоороо ялгаатай $x$, $y$, $z$ бодит тоонуудын хувьд \[x(z+1) = y(x+1)= z(y+1)\] нөхцөл биелдэг бол $z \ne 0$ болохыг баталж $y + 1/z$ илэрхийллийн утгыг ол.

3. $0$, $1$, $2$, $3$ цифрүүдээр бичигдсэн, дор хаяж дөрвөн ширхэг $1$ агуулсан $n \ge 4$ оронтой тоо хэд байх вэ?

4. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $BC$ тал дээр $P$ цэгийг, $CD$ тал дээр $Q$ цэгийг авсан ба $2PB=AB$, $2QD=AD$ байв. $BD$ хэрчмийн дундаж цэгийг $M$, $PQ$ хэрчмийн дундаж цэгийг $N$ гэе. Хэрэв $4MN=BD$ байсан бол $ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж батал.

5. Дурын натурал $m \ge 3$ тооны хувьд $(2^{m} - 1)!! \equiv 1 \pmod{2^{m}}$ гэж батал. Энд сондгой $k$ тооны хувьд $k!! = k \times (k-2) \times \dots \times 1$.

6. $a$, $b$ эерэг бодит тоонууд
\begin{equation}
\begin{cases}a^{2}=2 + b\\b^{3} = 3- a\end{cases}
\end{equation}
нөхцөлийг хангадаг гэе. $x^{n} + ax + b = 0$ тэгшитгэл бодит шийдгүй байдаг бүх натурал $n$ тоог ол.