1. $1,3,5,\ldots,99$ тоонуудаас зөвхөн $2k-1$, $2k+1$-д хуваагддаггүй, бусад бүх тоонд нь хуваагддаг $A$ тоо оршин байдаг $k$ тоонуудыг авч үзье. $(2k-1)(2k+1)$ үржвэрийн боломжит хамгийн их утгыг ол.

Хариу: 6723

2. Хоёр медиан нь 6 ба 9, нэг тал нь 8 урттай байх гурвалжнуудын хамгийн их талбай $S$ бол $S^2$ тоог ол.

Хариу: 1215

3. $P(x)=(x-1^3)(x-2^3)\ldots(x-20^3)(x-21^3)$ бол $P(n)\leq 0$ байх эерэг бүхэл $n$ тоо хэдэн ширхэг байх бэ?

Хариу: 4971

4. $21!$ тооны натурал хуваагчдаас санамсаргүйгээр авсан нэг хуваагч бүтэн куб байх магадлал $\dfrac{m}{n}$ ба $(m,n)=1$ бол $m+n$ утгыг ол.

Хариу: 3807

5. Огторгуйн $A, B, C, D$ дөрвөн цэгийн хувьд $|\overrightarrow{AB}|=1$, $|\overrightarrow{BC}|=7$, $|\overrightarrow{CD}|=13$, $|\overrightarrow{DA}|=11$ бол $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$ векторууд ямар өнцөг үүсгэх вэ?

Хариу: 90

6. $x,y,z,t$ нь 2021-ээс хэтрэхгүй натурал тоонууд байг. Тэгвэл
$$(x+y+z+t)^2\ge 10\left(x^2+\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{z^2}{3}+\dfrac{t^2}{4}\right)$$
нөхцөлийг хангадаг $(x,y,z,t)$ дөрөвт хэчнээн ширхэг байх вэ?

Хариу: 505

7. $\left\{\begin{array}{c} x_1+x_2+\dots+x_n=11n-30 \\ \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dots+\dfrac{1}{x_n}=1 \end{array}\right.$ систем тэгшитгэл $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ натурал тоон шийдтэй байх бүх $n$-үүдийн нийлбэрийг ол.

Хариу: 11

8. $a_{3}, a_{4}, a_5,\dots$ натурал тоон дарааллын хувьд $a_{3} = 5$ бөгөөд $n \ge 4$ хувьд
$$a_{n} = n+ \sqrt{a_{n}a_{n-1} + 4}$$
байдаг бол дарааллын $a_{3^{200}}$ гишүүний сүүлийн $3$ оронг ол.

Хариу: 997