1.
Дүгнэх аргачлал:

1. $BC$ болон $DE$-ын огтлолд үүсэх цэгийг авч үзэх (1 оноо)
   


2. $AC\parallel DE$, $BC\parallel AD$ батлах (2 оноо)
   
   1 болон 2 хоорондоо нэмэгдэхгүй.
   


3. Бүтэн бодолт (7 оноо)
   


4. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


5. Том алдаа $-2$ оноо.
   

2. Бодлого №2

Дүгнэх аргачлал:

1. Хариу зөв бол (1 оноо)
   


2. Байгуулалт хийвэл (3 оноо)
   


3. Үнэлгээ (3 оноо)
   


4. Бүтэн бодолт (7 оноо)
   


5. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


6. Том алдаа $-2$ оноо.
   

3. Бодлого №3

Дүгнэх аргачлал:

1. $a+b+c+d$ квадратаас чөлөөт байж чадахгүй (3 оноо).
   
   (-) $\forall p\in\mathbb P$: Хэрэв $p\mid a+b+c+d\Rightarrow p\mid a+b$ (1 оноо). (Өмнөхийг хийгээгүй)
   


2. (I) $(a,b,c,d)$ шийд $\Rightarrow(ka,kb,kc,kd)$ шийд (1 оноо)
   
   (II) $\forall k\in\mathbb N$ хувьд $a+b+c+d=k^2$ байх $(a,b,c,d)$ олдоно (2 оноо)
   
   (III) I, II-оос $\forall k,l\in\mathbb N: a+b+c+d=l\cdot k^2$ байх $(a,b,c,d)$ олдоно (4 оноо) (III дээр I, II-ийг нэмэхгүй)
   


3. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


4. Том алдаа $-2$ оноо.
   

4. Бодлого №4

Дүгнэх аргачлал:

1. $p=2$ үед шийдгүй гэж харуулбал (2 оноо)
   


2. $p\ge 5$ үед шийдгүй гэж харуулбал (2 оноо)
   


3. $p=3$ үед бүх шийдийг олбол (2 оноо)
   


4. Бүтэн бодолт (7 оноо)
   


5. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


6. Том алдаа $-2$ оноо.
   

5. Бодлого №5

Дүгнэх аргачлал:

1. $a_k > a_{k-1} > a_{k-2}$ байх $a_{k-1}$ тоог авч үзвэл (2 оноо)
   


2. Бүтэн бодолт (7 оноо)
   


3. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


4. Том алдаа $-2$ оноо.
   

6. Бодлого №6

Дүгнэх аргачлал:

1. $AD$, $NJ$, $MI$ нэг цэгт огтлолцоно (1 оноо)
   


2. $A$ цэг нь $XD$-ийн дундаж цэг (2 оноо)
   


3. $\triangle PXC\sim\triangle PAD$ (3 оноо)
   
   $\triangle PDC\sim\triangle PAX$ (1 оноо) (3-ийг хийгээгүй)
   


4. (1), (2), (3)-аас бодлого бодогдоно (1 оноо)
   
   


5. Бүтэн бодолт (7 оноо)
   


6. Жижиг алдаа $-1$ оноо.
   


7. Том алдаа $-2$ оноо.