1. $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын хувьд
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
ax + by &= 1\\
x + cy &= a\\
cx + y &= b
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
тэгшитгэл $(x, y)$ бодит шийдтэй бол $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 2abc + 1$ байна гэж харуул.

2. $288$-аас хэтэрдэггүй $13$ ширхэг ялгаатай натурал тооноос тогтох олонлог өгөгдөв. Энэ олонлогоос элементүүдийн тоо болон элементүүдийн нийлбэр нь тэнцүү, ерөнхий элементгүй, хоосон биш хоёр дэд олонлог сонгон авч болно гэж батал.

Жишээлбэл $\Set{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}$ тоонууд өгөгдсөн бол $\Set{1, 4}$, $\Set{2, 3}$ олонлогууд бодлогын нөхцөл хангана, харин $\Set{1, 2}$, $\Set{3}$ олонлогууд элэментүүдийн тоо нь зөрөх тул, $\Set{1, 2, 3, 4}$, $\Set{5, 6, 7, 8}$ олонлогууд элементүүдийн нийлбэр нь зөрөх тул нөхцөл хангахгүй.

3. $I$ төвтэй тойрог багтаасан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $\angle BAD<90^\circ$ байв. $BI$ хэрчим дээр $E$ цэгийг, $DI$ хэрчим дээр $F$ цэгийг $\angle EAF=\angle BAI$ байхаар авав. $ABD$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $O$ цэгийн $BD$ шулууны хувьд тэгш хэмтэй цэгийг $Q$ гэе. $B$, $D$, $Q$, $C$ цэгүүд нэг тойрог дээр орших бол $\angle ECF=\angle BAD$ гэж батал.

4. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагоналууд перпен\-дикуляр бөгөөд $P$ цэгт огтлолцоно. $BC$ тал дээр $X$ цэгийг авсан ба $XP$ шулуун $APD$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой $P$ цэгээс ялгаатай $Y$ цэгт огтлолцоно.

$\angle AXD+\angle BYC=90\degree$ гэж батал.

5. $211 \cdot 9^{k} + 125^{m} = 2024^{n}$ тэгшитгэлийн бүх $(k, m, n)$ сөрөг биш бүхэл тоон шийдийг ол.

6. $0$, $1$ цифрүүдээр бичигдсэн $M$, $N$ тоонуудын хувьд $N$ тооны эхлэлээс хэдэн цифр ба төгсгөлөөс хэдэн цифр дарахад $M$ тоо үлддэг бол $M$ тоог $N$ тооны дэд тоо гэе.

$M = 10101$ тоо $N$ тоонд хэдэн удаа дэд тоо болж агуулагдахыг $g(N)$ гэж тэмдэглэе. Энд давхардлыг зөвшөөрнө. Жишээлбэл $g(101101) = 0$, $g(10101101) = 1$, $g(1010101) = 2$ байна.

$n \ge 5$ гэе. $N$ тоо $0$, $1$ цифрүүдээр бичигдсэн бүх $n$-ээс хэтрэхгүй оронтой тоогоор гүйх үеийн $g(N)$ утгуудын нийлбэрийг ол.