Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Эмээд чихэр хийсэн уут $21$ ширхэг байв. Бат эмээгээс асуугаад дурын хоёр уутанд байгаа чихрийн нийлбэр тоог мэдэж болно. Тэгвэл Бат яг $12$ удаа асуугаад эмээд нийт хэдэн чихэр байгааг мэдэж болох уу?

2. Натурал $n$ тоо бүтэн квадрат бөгөөд $2024$-ийг $n$-д хуваахад $188-\dfrac{5}{4}n$ үлдэгдэл өгдөг байв. Ийм чанартай бүх $n$ тоог ол.

3. $\angle A>90\degree$ байх $ABC$ гурвалжны $\angle B$ өнцгийн дотоод биссектрис $AC$ талтай $D$ цэгт огтлолцоно.
$BC$ тал дээр $AB=A'B$ байх $A'$ цэг ба $\angle AFB=2\angle ADB$ байх $F$ цэг авав. Мөн $BC$ шулуун дээр $AD=DE$ байх $A'$ цэгээс ялгаатай $E$ цэг ба $EF=FG$ байх $E$ цэгээс ялгаатай $G$ цэг авав. $DF$, $AG$ шулуунууд параллел гэж батал.

4. Зурагт үзүүлсэн байдлаар нэгж талтай зургаан өнцөгтүүдийн оройн цэгүү\-дийг холбосон замууд байв. Хоёр оройг нэгж урттай замаар холбогдсон бол зэргэлдээ гэе.

Оройн цэгүүд дээр аль ч хоёр нь зэргэлдээ биш байхаар хотууд байгуулна. Дахин хот нэмж байгуулах боломжгүй байхаар хамгийн цөөндөө хэдэн хот байгуулж болох вэ?