Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $\overline{ABBA}$ дөрвөн оронтой тоо $\overline{BB}$ хоёр оронтой тоонд хуваагддаг бол $\overline{ABBA}$ тоог сайн тоо гэе. Энд $A$, $B$ цифрүүд ижил байж болох бол сайн тоо нийт хэд байх вэ?

2. $a$, $b$, $c$ бүхэл тоонуудын хувьд $A=ab+7b+49$ ба $B=bc+7c+49$ тоонууд $61$-д хуваагддаг бол $C=ca+7a+49$ тоо $61$-д хуваагдана гэж батал.

3. $5\times 5$ хүснэгтийн нүднүүдэд $1, 2, \dots, 25$ гэсэн тоонууд дараах байдлаар бичигдсэн байв.



Хүснэгтийн аль нэг мөрийг сонгож аваад уг мөрийн бүх тоог 1-ээр ихэсгэх, эсвэл аль нэг баганыг сонгож аваад уг баганын бүх тоог 1-ээр ихэсгэх гэсэн хоёр төрлийн үйлдлийн тусламжтайгаар хүснэгтэд бичигдсэн бүх тоог тэнцүү болгож болох уу?

4. Цифрүүд нь өсөж байгаад буурдаг тоог уул хэлбэрийн тоо гэе. $1310$ уул хэлбэртэй бол $1331$, $1234$, $4321$, $3412$ тоонууд уул хэлбэртэй биш. Дөрвөн оронтой уул хэлбэрийн тоо нийт хэдэн ширхэг байх вэ?