Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-59, II даваа II шат, T (ДБ) ангилал

1. $1$, $2$, $\dots$, $6$ буух магадлал нь ижилхэн $1/6$ байх албагүй далий хэлбэртэй шоог $2$ удаа хаяхад тэгш сондгойгоороо ижил нүд буух магадлал тэгш сондгойгоороо ялгаатай нүд буух магадлалаас багагүй гэж батал.

2. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $C$ оройг агуулаагүй $AB$ нум дээр $P$ цэг авав. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвийг $I$ гээд $AI$ шулуун $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрогтой $A$ цэгээс өөр $M$ цэгт огтлолцдог гэе. $API$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AB$ хэрчимтэй $A$ цэгээс өөр $E$ цэгт огтлолцдог ба $PM$, $BC$ хэрчмүүд $D$ цэгт огтлолцдог бол $BE=BD$ гэж батал.

3. $p = 12k + 5$ анхны тоо гэе. $n \ge1$ хувьд
\begin{equation}
f_n = ( n - 1 )(n^2-1)\cdots (n^{6k + 1} -1)(n^{6k + 2}-1)
\end{equation}
гэж тэмдэглэвэл $f_2^2 + f_8^2 \equiv 0 \pmod p$ болохыг харуул.

4. Координатын хавтгайд $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$ цэгүүд авъя. $C$ цэг $2xy = 1$ тэгшитгэлтэй гиперболоор гүйх үед $\angle ACB$ өнцөг хамгийн ихдээ ямар утга авах вэ? (өнцгийг $[0^\circ, 180^\circ]$ завсарт байхаар бага өнцгөөр хэмжинэ)

5. $m \ge 1$ ба $n = 2m - 1$ гэе. Аль ч хоёр сурагч хоорондоо яг нэг удаа таараx, өөрөөр хэлбэл тойргоор тоглох, тэнцэх боломжгүй тэмцээнд $n$ сурагч оролцов. Хожлын тоогоор байр эзлүүлэхэд (ижил хожилтой сурагчдыг нэрсийн цагаан толгойн дарааллаар жагсаана) тэг дунд буюу $m$-р байранд ороx сурагч хамгийн ихдээ хэд хожсон байx вэ?

6. $P_{1}(X) = 1$, $P_{2}(X) = 2X$ гээд $n \ge 3$ хувьд $P_{n}(X)$ олон гишүүнтийг
\begin{equation}
P_{n}(X) = 2XP_{n-1}(X) - (X^{2}+1)P_{n-2}(X)
\end{equation}
гэж тодорхойлъё. Дурын натурал $n$ тоо ба бодит $x$ тооны хувьд $|P_{n}(x)| \le (1+x^{2})^{\frac{n}{2}}$ тэнцэтгэл биш биелнэ гэж харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.