Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-59, II даваа I шат, E (9-10) ангилал

1. Дөрвөн хүүхэдтэй айлын хэдэн ч хүүхдийн насны нийлбэр өөр хэдэн хүүхдийн насны нийлбэртэй ижил байдаггүй гэе. Хамгийн том хүүхэд хамгийн багадаа хэдэн настай вэ? Энэ айлд ихэр хүүхэд байхгүй.

2. $AB>AC$ байдаг хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны дотор талд $\angle ANB=180^\circ -\angle BAC$, $\angle NBA=180^\circ -2 \angle ACB$ байхаар $N$ цэгийг авав. $\angle NBA$ өнцгийн дотоод биссектрис, $\angle NAC$ өнцгийн дотоод биссектристэй $P$ цэгт огтлолцоно. $NB$ шулуун, $C$ цэгийг дайрсан $AN$ шулуунтай параллель шулуунтай $D$ цэгт огтлолцоно. $\angle DPN=2\angle ABC$ гэж батал.

3. Өгөгдсөн $a$, $b$, $c$ натурал тоонуудын хувьд $P_{N} = (a^2+N)(b^2+N)(c^2+N)$ үржвэрийг авч үзье.


  1. $P_{N}$ тоо бүтэн квадрат биш байх натурал $N$ тоо олдохыг харуул.

  2. $P_{N}$ тоо бүтэн квадрат байх натурал $N$ тоо олдохыг харуул.

4. $ABC$ гурвалжны $\angle A$ өнцгийн дотоод биссектрис $\angle C$ өнцгийн дотоод биссектристэй $E$ цэгт огтлолцоно. $\angle A$ өнцгийн дотоод биссектрис дээр $EC=ED$ байх $D$ цэгийг $E$ цэг $A$, $D$ цэгүүдийн хооронд байхаар авав. $ACDB$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтах бол $\angle B$ өнцгийг ол.

5. $10\times 10$ хүснэгтийн бүх нүдэнд $-1$ тоо бичигдсэн байв. Дараалсан хоёр мөр ба дараалсан хоёр багана сонгож аваад тэдгээрийн огтлолцолд бичигдсэн дөрвөн тоог хэвээр нь үлдээгээд, сонгогдсон мөр ба баганад бичигдсэн бусад бүх тоонуудын тэмдэгийг эсрэгээр солих үйлдэл хийж болно. Хүснэгтэд бичигдсэн бүх тоог $1$ болгож болох уу?

6. Бүхэл $n \ge 0$ ба бодит $x$ тооны хувьд $Q_{n}(x) = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!}$ гэе.

$n \ge 1$ ба $b > a > 0$ бол $\dfrac{Q_{n}(b) - Q_{n}(a)}{b - a} \ge Q_{n-1} \left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ гэж харуул.