Бодолт 1.

Хариу: Бүтэн квадрат биш.

Өгсөн нийлбэрийг бүтэн квадрат гэж үзээд $S$ гэж тэмдэглэе. Сондгой тооны квадратыг $8$-д хуваахад $1$ үлдэгдэл өгнө гэдгийг санавал $S$ сондгой гэдгээс $8 \mid S-1$ болно.

Мөн түүнчлэн, хэрэв $n$ сондгой тоо бол $8 \mid n^n - n$ байна. Иймд $S$ ба $4 + 1 + 3 + 5+ 7+ \cdots + 2021$ нийлбэр $8$-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгнө. Сүүлийн нийлбэрийг $8$-д хуваахад $5$ үлдэгдэл өгөх учраас $8 \mid S-5$ болж зөрчил гарна.

Үнэлэгээний аргачлал:

1. $n$ сондгой үед $n^n-n$ тоо $8$-д хуваагдахыг батлаад, тэгээд ашигласан үед $4$ оноо, баталгаагүй хэрэглэсэн үед $2$ оноо.


2. $1^1+2^2+\dots + 2021^{2021}$ тоо 8-д хуваахад 5 үлдэгдэл өгөхийг гаргасан бол $2$ оноо.


3. $n^2\equiv 5 \pmod{8}$ тэгшитгэл шийдгүйг харуулж, ашигласан бол 1 оноо. Харуулаагүй шууд дүгнэлт бичсэн тохиолдолд $0$ оноо.

Бодолт 1.

Хариу: $\angle CAD = 30^{\circ}$.

$\angle ABC$ болон $\angle BCD$-ийн биссектриссүүд $O$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл $\angle OBC+\angle OCB=120^\circ$ болно. Эндээс $\angle BOC=180^\circ-\angle OBC-\angle OCB=180^\circ-120^\circ=60^\circ $ болно.

$CO, BO$ биссектриссүүд ба $AB=BC=CD$ учраас $\angle AOB=\angle BOC=60^\circ $ ба $\angle COD=\angle BOC=60^\circ $ болно. Иймд $O$ цэг $AD$ дээр оршино. $AC \perp OB $ учраас $\angle CAD=\angle CAO=30^\circ$ байна.

Үнэлэгээний аргачлал:

Бодолт 1-ийн онооны схем:

1. Биссектриссүүдийн огтлолцол $O$ цэг авбал $2$ оноо


2. $\angle BOC = 60^{\circ}$ гэж батлавал $1$ оноо


3. $\angle AOB = \angle COD = 60^{\circ}$ гэж батлавал 2 оноо


4. $O$ цэг $AD$ дээр оршино гэж батлавал $1$ оноо


5. Гүйцээлт 1 оноо.

Бодолт 2.

$AC\cap BD=O$, $AB\cap CD=T$ гэвэл $(BOCT)$ тойрогт багтана.
$$\measuredangle BTO=\measuredangle BCO=\measuredangle BAC=\alpha$$
$$\measuredangle CTO=\measuredangle OBC=\measuredangle CDB=60^\circ-\alpha$$
тул $AO=OT=OD\Rightarrow \measuredangle CAD=30^\circ$.

Бодолт 2-ийн онооны схем:

1. $AC \cap BD = O$ гээд $\angle BOC = 120^{\circ}$ гэж батлавал $1$ оноо


2. $AB$ ба $DC$ шулуунуудын огтлолцлын цэгийг $T$ гээд $\angle ATD = 60^{\circ}$ гэж батлавал $1$ оноо


3. $BTCO$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж батлавал $1$ оноо


4. $AO = OT = OD$ гэж батлавал $3$ оноо


5. Гүйцээлт 1 оноо.

Бодолт 1.

Нөхцөлөөс $0 \le a, b, c \le 1$ байна. Иймд
\begin{equation}
\begin{aligned}
( ab + c )^2 - ( b + ac )^2 &= (c^2 - b^2 )(1-a^2) \le c^{2}(1- a^{2})\quad\text{ба}\\
( ab + c )^2 + ( b + ac )^2 &\le (a + c)^{2} + (b+ a)^{2} \le (a+ b+c)^{2} + a^{2} \le 1 + a^{2}
\end{aligned}
\end{equation}
байх тул
\begin{equation}
( ab + c )^4 - ( b + ac )^4 \le c^{2}(1- a^{2}) \big(( ab + c )^2 + ( b + ac )^2\big) \le c^{2}(1-a^{4})
\end{equation}
болж тэнцэтгэл биш батлагдав. Тэнцэтгэл зөвхөн $b = c = 0$ эсвэл $(a, b, c) = (0, 0, 1)$ үед биелнэ.

Үнэлэгээний аргачлал:

1. Ялгавар болгон бичиж үржигдэхүүнд бүрэн задалбал $1$ оноо


2. $b\geq c$ үед бодвол $1$ оноо


3. Тэнцэх нөхцлөө бүрэн олбол $1$ оноо, олоогүй бол $0$ оноо

Бүтэн бодолт $7$ оноо.

Бодолт 1.

$10 \times 10$ хөлгийн нүднүүдийг шатрын хөлөгтэй ижлээр цагаан ба саарал өнгөөр сөөлжлөн будья. Саарал нүдэнд байрлах хүүг саарал нүдэнд байрлах морь идэх боломжгүй тул саарал өнгийн нүдэнд өгсөн нөхцөлийг биелүүлдэг байхаар хамгийн олондоо хэдэн хүү байрлуулж болохыг олоход хангалттай. Саарал өнгийн 8 нүдэнд дараах байдлаар хүү байрлуулья:

Зургаас харахад хөлгийн аль ч цагаан нүдэнд байрлуулсан морь хамгийн ихдээ 1 хүү иднэ. Иймд өгсөн нөхцөлийг биелүүлдэг байхаар 16 хүү хөлөгт байрлуулж чадна.

Одоо саарал өнгийн нүднүүдэд өгсөн нөхцөлийг биелүүлэх 9 хүү байрлуулж чадна гэж үзье. Хөлгийн аль ч $3 \times 3$ хэсгийн 2 буланд (дигоналчлан) байрлах 2 хүүг идэх морь хөлөгт байрлуулах боломжгүй:

Иймд $A$ ба $B$ хэлбэрийн $5 \times 5$ хэсэгт хамгийн олондоо харгалзан 3 ба 2 хүү байрлуулах боломжтой:

Түүнчлэн $A$ хэлбэрийн $5 \times 5$ хэсэг 3 хүүтэй бол 1 хүү нь төвд, иймээс нөгөө 2 нь диагоналчлан эсрэг байрлана гэдгийг төвөггүй шалгаж чадна. Хөлөг 4 ширхэг $5 \times 5$ хэсгээс тогтох учраас хөлгийн баруун дээд булангийн $5 \times 5$ хэсгийг 3 хүүтэй гэж үзэж болно:

Үнэлэгээний аргачлал:

1. 2 өнгөөр будах санаанд $1$ оноо


2. Жишээ байгуулсан бол $2$ оноо


3. Зөв үнэлгээ хийсэн бол $3$ оноо


4. Бүтэн бодолт $7$ оноо

Нэмэлт: $5 \times 5$ хэсэгт хамгийн олондоо 5 хүү байрлуулж болно гэж үзүүлсэн бол 1 оноо.