1. 5 ширхэг 10-тын зоос, 4 ширхэг 50-тын зоосыг нэгэн зэрэг хаяхад сүлдээрээ буусан 10-тын зоосны тоо, тоогоороо буусан 50-тын зоосны тоотой тэнцүү байх магадлал $\dfrac{m}{n}$ ба $(m,n)=1$ байг. $m+n$ тоог ол.

Хариу: 319

2. $x_1+x_2+\ldots+x_{15}=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_{15}$ тэгшитгэл хэчнээн натурал тоон шийдтэй вэ?

Хариу: 420

3. $56$ зэргийн бодит коэффициенттэй $P(x)$ олон гишүүнтийн хувьд
$$P(1) = 1, P(2) = \dfrac{1}{2}, P(3) = \dfrac{1}{3}, \dots, P(57) = \dfrac{1}{57}$$
бөгөөд $P(58) = \dfrac{1}{n}$ байдаг бол $n$ тоог ол.

Хариу: 29

4. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AB=CD=AD/2$, $BC < AD$, $AD\nparallel BC$ нөхцөлүүд биелдэг байг. $AB$, $CD$ шулуунуудын огтлолцлын цэгийг $T$ гэе. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн гадна талд $\angle BSC=\angle ATD$ ба $BS=CS$ байх $BSC$ адил хажуут гурвалжин авъя. Хэрэв $AB\cdot BS=56$ ба $BC=8$ бол $AS$ хэрчмийн уртыг ол. ($S$ болон $T$ цэгүүд $BC$ шулууны нэг талд оршино.)

Хариу: 14

5. $30 x^3 - 49x^2 + 21x - 1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1, x_2, x_3$ ба $s_n=x_1^n+ x_2^n+ x_3^n$ бол $\sum\limits_{k=0}^{\infty} s_k$ нийлбэрийг тооцоол.

Хариу: 13

6. $\angle ABC=90^\circ$ байх $ABC$ гурвалжин дотор $D$ цэгийг $\angle BCD=\angle BAD=\alpha$, $AB=CD$ ба $BC=2AD$ байхаар авав. Тэгвэл $\alpha$ өнцөг хэдэн градус вэ?

Хариу: 30

7. $a_1=23$ ба $a_{n+1} = 23^{a_n}$ дүрмээр өгөгдсөн дарааллын ялгаатай $a_m$ ба $a_n$ гишүүдийн сүүлийн 2 цифр ижил байсан бол $n + m$ нийлбэрийн хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 7

8. $(n-m)^{3} = 2021(n+m)$ тэгшитгэлийн $|m|\le 10^{9}$, $|n| \le 10^{9}$ байх $(m, n)$ бүхэл тоон шийдийн тоог ол.

Хариу: 15