EGMO-2023 сонгон шалгаруулалт №2, F (11-12) ангилал

1. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийг $D$, $B$ оройгоос буусан өндрийг $E$, $C$ оройгоос буусан өндрийг $F$, ортотөвийг $H$ гэе. $AH$ хэрчмийн дундаж цэгийг $L$, $EF$ хэрчмийн дундаж цэгийг $M$, $BC$ хэрчмийн дундаж цэгийг $N$ гэе. $L$ цэгээс $FD$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $P$, $N$ цэгээс $FD$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $Q$ гэвэл $PM\perp MQ$ болохыг батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:

  • Бүтэн бодолт 7 оноо.

  • $L$, $M$, $N$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж харуулвал 1 оноо.

2. Дараах нөхцөлүүдийг хангадаг $f: \mathbb R\to \mathbb R$ функц оршин байдаг бүх $a$ бодит тоонуудыг ол.

  1. $x\in \mathbb R$ бүрийн хувьд $f(f(x))=f(x)+x$,

  2. $x\in \mathbb R$ бүрийн хувьд $f(f(x)-x)=f(x)+ax$,

Бодолт 1.

$a = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ үед $f(x) = -x/a$ функц нөхцөл хангахыг шалгах хэцүү биш. Өөр шийдгүй гэж харуулъя.
\begin{equation}
f(x) = f(f(f(x)) - f(x)) = f(f(x)) + af(x) = f(x) + x + af(x)
\end{equation}
гэдгээс $a \ne 0$ ба $f(x) = -x/a$ байна. Нөхцөлөөс $a^{2} - a - 1 = 0$ болно.

Дүгнэх аргачлал:

Бүтэн бодолт $7$ оноо, жижиг алдаа $-1$ оноо, дунд хэмжээний алдаа $-2$ оноо. Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.



  1. Шийдүүдийг олж, шийд болохыг шалгасан бол $2$ оноо. Шийд болохыг шалгаагүй бол $1$ оноо.

  2. Өөр шийдгүй гэж харуулахад $5$ оноо. Үүнд

    1. $f(x) = f(f(x)) + af(x)$ гэж харуулахад $2$ оноо.

    2. $a \ne 0$ ба $f(x) = -x/a$ гэж харуулахад $2$ оноо.

    3. $a^{2} - a - 1 = 0$ гэж харуулахад $1$ оноо.




3. Чимгээ самбарт бичигдсэн $x$, $y$ ялгаатай тоонуудыг сонгоод тэдгээрийг ашиглан
\[\text{ХИЕХ}(x,y)+\text{ХБЕХ}(x,y)\]
тоог гарган авч самбарт нэмж бичиж чадна. Анх самбарт $a$, $b$ гэсэн ялгаатай натурал тоонууд бичигдсэн байжээ. Ямар ч $n$ натурал тоо өгөхөд, Чимгээ $n$-д хуваагддаг тоо гарган авах боломжтойг харуул.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:


Бүтэн бодолт 7 оноо:


$x\mid y$ байх хоёр тоо самбарт бичигдсэн тохиолдолд $n$-д хуваагдах тоо гаргаж чадна гэдгийг баталбал 1 оноо.

4. Ямар нэг дараалсан 1000 ширхэг натурал тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олоод хооронд нь нэмэхэд $N$ тоо гардаг бол $N$ тоог гоё тоо гэе. Бүх гоё тоог ол.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:


Бүтэн бодолт 7 оноо:



Доод үнэлгээг гаргах 3 оноо:

1) 1-1000 тоонуудын цифрүүдийн нийлбэрийг олсон тохиолдолд 2 оноо

2) Сайн тоо дээрх нийлбэрээс бага байж болохгүй гэдгийг баталсан тохиолдолд +1 оноо.

13501-ээс эхлэн бүгд сайн гэдгийг батлах 4 оноо:

1) Шууд байгуулалт хийсэн тохиолдолд 4 оноо.

2) Нийлбэр 1-ээр ихсэх юмуу багасна гэдгийг ашигласан баталгаа:

а) Нийлбэр 1-ээр ихсэх юмуу багасна гэдгийг + 1 оноо

б) Нийлбэр дээшээгээ зааглагдахгүй гэдгийг харуулбал + 1 оноо

в) 13501-ээс их бүх тоо сайн гэж баталсан бол + 2 оноо. Хэрвээ а) эсвэл б)-ийн аль нэгийг батлаагүй бол +1 оноо.



Жижиг алдаанууд нийтдээ $-1$ оноо.

5. $AB < AC$ байх $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байв. $CA$ шулуун дээр $D$ цэгийг $CD=AB$ байхаар, $BA$ шулуун дээр $E$ цэгийг $BE=AC$ байхаар, мөн $A$, $D$, $E$ цэгүүд $BC$ шулууны нэг талд оршиж байхаар авав. $BCI$ гурвалжны ортотөв $H$ бол $D$, $E$, $H$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

Бодолт 1.

Дүгнэх аргачлал:


  • Бүтэн бодолт 7 оноо.

  • Дунд зэргийн алдаа $-2$ оноо.


6. Энэ бодлогын өгүүлбэрийг материалаас харна уу!