1. $a(b+1)^2=625b$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонуудын хувьд $a+b$ нийлбэр хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?

Хариу: 104

2. Нэгээс багагүй $a$, $b$, $c$ бүхэл тоонуудын хувьд $9^a$, $11^b$, $13^c$ тоонууд $100$-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг. Тэгвэл $a+b+c$ нийлбэрийн хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 14

3. $8 \times 8$ шатрын хөлгийн зүүн доод булангаас хөдөлсөн тэрэг яг 4 нүүгээд анх удаа хөлгийн баруун дээд буланд хүрдэг байхаар хэдэн янзаар нүүж болох вэ?

Хариу: 532

4. $AB=BC$ байх $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $E$ цэг, $AC$ тал дээр $F$ цэг орших ба $BF$, $AE$ хэрчмүүд $D$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $ABD$ гурвалжны талбай $DECF$ дөрвөн өнцөгтийн талбайтай тэнцүү ба $BD=3$, $DF=5$ бол $AE$ хэрчмийн уртыг ол.

5. Чимгээ 3-аас 25-ийн хооронд (3 эсвэл 25 байж болно) ямар нэгэн натурал тоо санажээ. Цэцэгээ Чимгээгээс санасан тоо нь анхны тоо эсэх, 5-д хуваагдах эсэх, бүтэн квадрат эсэхийг асуугаад Чимгээгийн хариулт дээр үндэслэн түүний санасан тоог зөв хэлж чадсан байна. Чимгээгийн санасан байж болох тоонуудын нийлбэрийг ол.

Хариу: 30

6. $ABC$ гурвалжны дотор $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ байх $O$ цэг авчээ. $\dfrac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\dfrac{p}{q}$ ба $(p,q)=1$ бол $p+q$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 4

7. $2021\times 2021$ хүснэгтэд $-1$, $+1$ тоонуудыг бичив. Эерэг нийлбэртэй мөрийн тоог $x$, сөрөг нийлбэртэй баганын тоог $y$ гэвэл $x+y$ хамгийн ихдээ хэд байх вэ?

Хариу: 4040

8. $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ олонлогийн дараах нөхцөлүүдийг нэгэн зэрэг хангах дэд олонлогуудын $(A_1, A_2, A_3)$ гуравтуудын тоог ол. Үүнд:

1. $A_1\cup A_2\cup A_3=A$


2. $1\leq i < j\leq 3$ байх $i$, $j$ бүрийн хувьд $A_i\cap A_j\neq\emptyset$


3. $A_1\cap A_2\cap A_3=\emptyset$.

Хариу: 11340