Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $ABC$ гурвалжны $BC$ талын дундаж цэгийг $E$ гэе. $AC$ талын дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулууныг $D$ цэгт шүргэдэг, $A$, $B$ цэгүүдийг дайрсан тойрог $AC$ талтай $A$ цэгээс ялгаатай $K$ цэгт огтлолцоно. $KC$ хэрчмийн дундаж цэгийг $F$ гэе. $DE \perp EF$ гэж батал.

2. Зурагт үзүүлсэн (додекаэдр) хэлбэртэй гаригийн талс бүр нэг улс байжээ. Тухайлбал улс бүр зөв таван өнцөгт хэлбэртэй ба нийт 12 улс байна. Хил залгаа улсууд өөр өнгөтэй байхаар улсуудыг улаан, ногоон, цэнхэр, шар дөрвөн өнгөөр будахад өнгө бүр ижил тоотой орно гэж батал.

3. Дараах чанартай натурал $k$ тоо олдох уу?

Ямар ч $p$, $q$ анхны тоонуудын хувьд $p^{q+k}+q^{p+k}$ тоо зохиомол байна.

4. Сондгой $N \geq 3$ тооны ялгаатай $n$, $m$ хуваагчдын хувьд $n > m$ бол
\begin{equation}
\frac{n}{m} \geq 1 + \frac{2m + 4}{N}
\end{equation}
гэж батал.

5. $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $A$ оройгоос $B$ оройн гадаад биссектрис рүү буулгасан перпендикулярын суурийг $A_{B}$ гэе. Мөн ижлээр $A$ оройгоос $C$ оройн гадаад биссектрис рүү буулгасан перпендикулярын суурийг $A_{C}$ гэе. $B_{A}$, $B_{C}$, $C_{A}$, $C_{B}$ цэгүүдийг мөн ижлээр тодорхойлов. $A_{B}A_{C}B_{A}B_{C}C_{A}C_{B}$ зургаан өнцөгт тойрогт багтана гэж батал.

6. $10 \times 8$ хэмжээтэй хөлөг дээр хүүнүүдийг аль ч зэргэлдээ мөр ба зэргэлдээ баганын огтлолцолд үүсэх $2 \times 2$ квадратад яг хоёр ширхэг хүү байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?