Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $\dfrac{120-x^2}{x+1}$ харьцаа натурал тоо байдаг бүх натурал $x$ тоонуудын нийлбэрийг ол.

2. Самбарт 30-ын бүх натурал тоон хуваагчдыг бичжээ. Тэдгээрээс аль ч хоёрынх нь үржвэр 30-аас ялгаатай байхаар дөрвөн тоог хэдэн янзаар сонгож болох вэ?

3. $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын хувьд $f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}$ функцийг авч үзье. $f(7)=7$, $f(13)=13$ бөгөөд $f(f(1))=1$ бол $a$ тоог ол.

4. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $\angle BAD=45^\circ$, $\angle CBD=25^\circ$ байв. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийг багтаасан тойргийн $B$ цэгт татсан шүргэгч шулуун $CD$ шулуунтай $E$ цэгт огтлолцдог бол $\angle BED$ өнцгийг ол.

5. $a_0=1$ бөгөөд дурын $n\geqslant1$ хувьд $a_n=a_{n-1}^2+2a_{n-1}$ байх натурал тоон дараалал өгөгдөв. $a_{2026}$ гишүүнийг 63-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

6. $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлыг $H$, гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $AB=10$, $BC=14$ ба $B$, $C$, $O$, $H$ цэгүүд тойрогт багтаж байсан бол $AC$ хэрчмийн боломжит уртуудын нийлбэрийг ол.

7. $6\times6$ шатрын хөлгийн эхний баганын нүд бүрд нэг тэмээ байрлаж байв. Аль ч хоёр тэмээ бие биеэ идэхгүй байхаар тэмээ бүрийг нэг нэг нүүлгэе. Энд тэмээ бүр байрнаасаа хөдөлсөн байна. Анхны байрлалаас тэмээнүүд хэдэн ялгаатай байрлалд очиж болох вэ?

8. $x$ иррационал тоо ба $k$ натурал тооны хувьд $x^2+x$, $x^3+4x^2$, $x^6+kx$ тоонууд бүгд рационал байв. $k$-ийн утгыг ол.

9. 1-ээс 6 хүртэлх натурал тоонууд дундаас $a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant\dots\leqslant a_{12}$ тоонуудыг аль ч тоо гурваас ихгүй орсон бөгөөд нийлбэр нь 7-д хуваагддаг байхаар хэчнээн янзаар сонгож болох вэ?

10. $a$, $b$, $c$, $d$ эерэг бодит тоонуудын хувьд $a+b+c+d=\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d=5$ бол $M=5\left(a+\dfrac1a\right)$ тооны авч болох хамгийн их утгыг ол.

11. $p$, $q$ анхны тоонуудын хувьд $p^2+51q^2=4r^2$ байдаг хамгийн их анхны $r$ тоог ол.

12. $ABC$ гурвалжны талууд $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$ байв. $ABC$ гурвалжныг түүнийг багтаасан тойргийн төвийг тойруулан эргүүлж $A'B'C'$ гурвалжныг үүсгэв. Энэ үед $A'C'\perp BC$ бөгөөд $A'$ ба $B$ цэгүүд $B'C'$ шулууны эсрэг талуудад орших бол $AA'CC'BB'$ зургаан өнцөгтийн талбайн дээд бүхэл хэсгийг ол. Энд $x$ тооноос багагүй хамгийн бага бүхэл тоог $x$ тооны дээд бүхэл хэсэг гэнэ.