Сургуулийн олимпиад Аймаг/Дүүргийн олимпиад Бүс/Нийслэлийн олимпиад Улсын олимпиад APMO EGMO IMO Бэлтгэл материал

Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

Олимпиадын мэдээ, хуваарь, дүн — нэг дороос

Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-63, I даваа, E (9-10) ангилал

1. Зөв есөн өнцөгтийн бүх диагоналийг зуржээ. Нэг диагональ хамгийн ихдээ хэдэн диагональтай огтлолцох вэ?

Хариу: 12

2. $x$, $y$, $z$ натурал тоонуудын хувьд $\dfrac y2$, $\dfrac z3$ бүхэл биш ба $\dfrac1x+\dfrac2y+\dfrac3z=\dfrac72$ бол $x+y+z$ нийлбэрийг ол.

Хариу: 16

3. $ABCD$ тэгш өнцөгтийн $AB$ талын урт 40 байв. $AB$ хэрчим дээр $E$ цэгийг $\angle ACD=\angle BCE$ байхаар авахад $EBC$ гурвалжны талбай 100 байв. $AEC$ гурвалжны талбайг ол.

Хариу: 300

4. $a+b+c$ нийлбэр сондгой ба $abc$ үржвэр 8-д хуваагддаг байх $a$, $b$, $c$ натурал тоонуудын хувьд $S=a^2+b^2+c^2$ нийлбэрийг 8-д хуваахад гарах боломжит бүх үлдэгдлүүдийн нийлбэрийг ол.

Хариу: 6

5. $3\times3$ хүснэгтийн голын нүдэнд нэг зараа байв. Тэрээр нэг үйлдлээр ерөнхий талтай нүд рүү явдаг ба яг өмнөх үйлдэл хийсэн нүд рүүгээ буцаж явдаггүй аж. Зараа анх байсан нүднээсээ 8 үйлдлийн дараа голын нүдэнд буцаж ирэх боломжийн тоог ол.

Хариу: 56

6. $\angle ABC=63^\circ$ байх хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны гадна талд $\angle ABC$ өнцөг дотор $P$ цэгийг $\angle APC=67^\circ$ байхаар авав. $P$ цэгээс $AB$ талд буулгасан өндрийн суурь $Z$, $BC$ талд буулгасан өндрийн суурь $X$, $CA$ талд буулгасан өндрийн суурь $Y$ бол $\angle XYZ$ өнцгийг ол.

Хариу: 130

7. $p$, $q$, $r$ ялгаатай натурал тоонуудын хувьд $pqr+51pq=2pqr+22pr=3pqr+7qr$ байдаг бол энэ ерөнхий утгыг ол.

Хариу: 5236

8. $k$ натурал тооны хувьд $\sqrt k$-тэй хамгийн ойр бүхэл тоог $f(k)$ гэж тэмдэглэе. $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{f(k)}=\frac1{f(1)}+\frac1{f(2)}+\dots+\frac1{f(n)}$ нийлбэр бүхэл тоо байх 2026-аас хэтрэхгүй хамгийн их $n$ тоог ол.

Хариу: 2025

9. $4\times4$ хүснэгтийн нүд бүрд нэг зоос байсан ба анх бүх зоосны тоотой тал дээшээ харсан байв. Дурын $2\times2$ дэд хүснэгтийг сонгон түүн доторх дөрвөн зоосыг эргүүлэх үйлдлийг авч үзье. Энэ үйлдлийг давтан хийсээр анхны өрөлтийг оролцуулаад нийт хэдэн ялгаатай өрөлт үүсгэж чадах вэ?

Хариу: 512

10. $x$ тооноос хэтэрдэггүй хамгийн их бүхэл тоог $\lfloor x\rfloor$ гэж тэмдэглэе. $\lfloor\sqrt n\rfloor+1\mid n$ ба $\lfloor\sqrt n\rfloor+2\mid n+11$ нөхцөлүүдийг зэрэг хангах бүх натурал $n$ тооны нийлбэрийг ол. Энд $n$ тоо $m$-д бүхлээр хуваагддаг гэхийг $m\mid n$ гэж тэмдэглэв.

Хариу: 132

11. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байг. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойрог $AB$ талыг $D$ цэгт, $AC$ талыг $E$ цэгт шүргэдэг гэе. $ABC$ гурвалжны талууд $AB=12$, $BC=5$, $CA=13$ ба $ED$ хэрчим болон $BI$ шулууны огтлолцлын цэг $J$ бол $JAB$ гурвалжны талбайг ол.

Хариу: 15

12. $A=\overline{a_1a_2\dots a_n}=2^{a_1}+2^{a_2}+\dots+2^{a_n}+1$ байх хамгийн их $A$ тоог ол.

Хариу: 897