Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Аав, ээж, ах, дүү дөрвийн насны нийлбэр 120 байв. Ах нь дүүгээсээ 3 насаар ах. 12 жилийн өмнө аав, ээжийн насны нийлбэр ах, дүүгийн насны нийлбэрээс 7 дахин их байсан бол ах одоо хэдэн настай вэ?

2. Дөрвөн хүү, гурван охин нэг эгнээнд зогсохдоо хоёр хүү зэрэгцэж зогсоогүй байхаар хэчнээн янзаар зогсож болох вэ?

3. $\overline{ab}-\overline{ba}$ ялгавар натурал тооны квадрат болдог тэгийн цифр агуулаагүй $\overline{ab}$ хоёр оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ?

4. $ABC$ гурвалжинг $BC$ талтай параллель 4 хэрчмээр 5 хэсэгт хуваажээ. Эдгээр хэрчмүүд $AB$ талыг 5 тэнцүү хэсэгт хуваадаг бөгөөд үүссэн хэсгүүдээс хамгийн том хэсгийн талбай 198 бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

5. $a < b < c < d < a^2 < b^2 < c^2 < d^2 < a^3 < b^3 < c^3 < d^3$ байх $a$, $b$, $c$, $d$ натурал тоонуудын хувьд $a+b+c+d$ нийлбэрийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.

6. Гурван агуулахад харгалзан 174, 246, 318 ширхэг бөмбөг байв. Агуулах бүрийн бөмбөгийг ижил багтаамжтай савнуудад хийж савлахад гурван агуулах бүрд ижил тооны бөмбөг савлагдалгүй үлджээ. Савлагдалгүй үлдсэн бүх бөмбөгийг нийлүүлээд мөн адил багтаамжтай савнуудад хийхэд яг 2 сав дүүрэв. Савны багтаамжийг ол.

7. Самбар дээр бичигдсэн $A$ натурал тоо $A=m\cdot n$ гэж натурал тоонуудын үржвэрт задардаг бол $A$ тоог $B=m+n$ нийлбэрээр сольж болно. Жишээлбэл, самбар дээр 12 гэсэн тоо бичигдсэн үед $12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4$ тул түүнийг $1+12=13$, $2+6=8$ эсвэл $3+4=7$ тоогоор сольж болно.
Самбар дээр анх 2026 гэсэн тоо бичигджээ. Дээрх үйлдлийг хэдэн ч удаа ашиглаад самбар дээр бичиж чадахгүй бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

8. $ABC$ гурвалжны өнцгүүд $\angle BAC=18^\circ$, $\angle ABC=48^\circ$ байв. $[BC)$ цацраг дээрх $AB=CD$ байх $D$ цэгийн хувьд $\angle BDA$ өнцгийг ол.

9. $6\times6$ хүснэгтийн зүүн дээрээс баруун доош диагональ дээрх нүднүүдийг будав. Сондгой ширхэг будагдсан нүд агуулсан тэгш өнцөгт хэд байх вэ?

10. $a>b>c>0$ цифрүүдийн хувьд $\overline{abc}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг $n$ гэе. Тэгвэл $n$ тооны авч болох хамгийн их утгыг ол.