Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Гурван айл нийт 189 хоньтой. Эхний айл хоёр дахь айлаас 7-оор олон, гурав дахь айл эхний айлаас 14-өөр цөөн хоньтой бол хоёр дахь айл хэдэн хоньтой вэ?

2. Сонгуульд 4 хүн нэр дэвшжээ. Сонгуулийн дүнгээр нийт саналын $\dfrac14$-ийг Бат, $\dfrac4{15}$-ийг Цэцэг, $\dfrac3{20}$-ыг Дөлгөөн, $\dfrac13$-ийг Долгор авсан бол сонгуульд хамгийн цөөндөө хэдэн хүн оролцсон бэ? Сонгуульд ядаж нэг хүн оролцсон гэж үзнэ.

3. $\overline{xy}$ хоёр оронтой тоо бол $\overline{xy}-\overline{yx}$ ялгавар хамгийн ихдээ ямар утга авах вэ? Энд $y=0$ байхыг зөвшөөрнө.

4. Зурагт дээрээс доошоо 1, 2, 3, 4, 5, 6 ширхэг нүднээс бүрдсэн шат үзүүлэв. Энэ дүрсэд агуулагдах, нэг эсвэл түүнээс олон нүднээс тогтох квадратын тоог ол.

5. $\overline{abc}$ тооны хувьд $\overline{abc}+\overline{bac}+\overline{cba}+\overline{ccb}+\overline{ccc}+\overline{bcb}=5883$ бол $a+b+c$ утгыг ол.

6. 1, 2, …, 16 тоог ямар нэг дарааллаар самбарт бичив. Эхнээс нь хоёр хоёроор нь багцлан, хоёр тооныхоо аль багыг нь дарах үйлдлийг хийвэл 8 тоо үлдэнэ. Энэ үйлдлийг $16\to8\to4\to2\to1$ ширхэг тоо үлдэх хүртэл үргэлжлүүлье. Хамгийн сүүлд дарагдах тоо хэдэн ялгаатай утга авч болох вэ? Жишээлбэл анх $(1,2,\dots,16)$ гэх мэтчилэн өсөх эрэмбээр бичвэл хамгийн сүүлд $(8,16)\to16$ гэж дуусах тул 8 хамгийн сүүлд дарагдана.

7. $\overline{A012B912}$ тоо 37-д хуваагддаг ба 16-д хуваагддаггүй бол $\overline{AB}$ тоог ол.

8. Зурагт өгөгдсөн $AEIF$ тэгш өнцөгтийн талбай 25 бөгөөд $EIHD$ болон $FBGI$ тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр 35 байв. $AF$, $FB$, $AE$, $ED$ хэрчмүүдийн урт бүхэл тоонууд бол $IGCH$ тэгш өнцөгтийн талбайн авч болох хамгийн их утгыг ол.

9. 1, 2, …, 2026 тоонуудаас аль ч хоёрынх нь нийлбэр 37-д хуваагддаггүй байхаар хамгийн олондоо хэдэн тоо сонгож чадах вэ?

10. 0 цифр агуулаагүй, цифрүүдийнх нь нийлбэр 15 байх палиндром тоо хэд байх вэ? (Урдаасаа болон хойноосоо ижилхэн уншигддаг тоог палиндром тоо гэнэ)