Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. $2\cdot 2^{[\log_2x]}-x=1989.25$ тэгшитгэлийг бод.

2. $ABC$ зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн $A$ өнцөгт тулсан $BC$ нумын гадна талаас нь шүргэсэн тойрог татав. $B$, $C$ цэгүүдээс энэ тойрогт татсан шүргэгчүүдийн уртын нийлбэр нь $A$ цэгээс мөн тойрогт татсан шүргэгчийн урттай тэнцэхийг батал.

3. Волейболын тэмцээнд 25 баг оролцов. Баг бүр хоорондоо нэг удаа тоглох ёстой. Тэмцээн эхлээд нэлээд хугацаа өнгөрсний дараа баг бүр хоёроос доошгүй хожигдолтой байв. Тэгвэл энэ үед хоёроос илүү хожилтой баг олдохгүй байж болох уу?

4. $\overline{a_1a_2\ldots a_{6n}}$ тоо $3367$-д хуваагддаг бол $\overline{a_{k+1}a_{k+2}\ldots a_{6n}a_1a_2\ldots a_{k}}$ тоо мөн $3367$-д хуваагдахыг батал. Энд $k\in\mathbb N$, $1\le k\le 6n$.

5. Дурын бодит $x$ тооны хувьд
\[f(x)+f(x+1)=\sqrt{2}\cdot f\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)\text{ ба }f(1989.514)=25\]
бол $f(2001.514)$-ийг ол.

6. Хэрэв $0\le a_1\le a_2\le\dots\le a_n$ ба $b_1,b_2,\ldots,b_n$-үүд нь $a_1,a_2,\ldots,a_n$ тоонуудын ямар нэг сэлгэмэл бол
\[\sum_{k=1}^n\dfrac{b_1+\dots+b_k}{k}\ge\dfrac{n^2}{2n-1}\cdot\sum_{k=1}^n\dfrac{a_1+\dots+a_k}{k^3}\]
болохыг батал.