Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Учрал хэсэг найзуудын хамт дэлгүүрээс хэдэн ном ба хэдэн дэвтэр худалдан авчээ. Нэг ширхэг ном нэг ширхэг дэвтрээс $A$ дахин илүү үнэтэй. Учрал болон түүний найзууд шударга хуваарилах үүднээс худалдан авсан ном, дэвтрүүдээ мөнгөн дүнгээр тэнцүү байхаар хуваан авахаар шийдэв. Учрал бүх номын $\frac{1}{10}$ ба бүх дэвтрийн $\frac{1}{15}$-ийг авсан байв. Тэрээр өөрт оногдсон ном болон дэвтрүүдээ тоолоход өөрт нь оногдсон дэвтрийн тоо номын тооноос $6$ дахин их болохыг анзаарав. $A$-ийн авч болох бүх утгыг ол.

2. $AC=BC$ байдаг адил хажуут $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $E$ цэгийг, $AC$ тал дээр $D$ цэгийг авсан ба $EC$, $BD$ хэрчмүүд $G$ цэгт огтлолцож байв. $ADGE$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $BGC$ гурвалжны талбайтай тэнцүү ба $EC=BD$ байв. $\angle EGB=\angle ACB$ гэж батал.

3. Анхны тоон хуваагч бүрийхээ квадратад хуваагддаг зохиомол тоог сайн тоо гэе. Ялгаатай сайн тоонуудын нийлбэрт тавигддаггүй хамгийн их натурал тоог ол. Энд нийлбэр нэг гишүүнтэй байж болно. Жишээ нь $1$, $3$, $12$ тоонууд сайн тоо биш бөгөөд $9$ ба $108$ сайн тоо мөн.

4. $6\times 6$ хэмжээтэй квадрат дотор аль ч орой болон ирмэгээрээ, мөн дотор талаараа огтлолцохгүй тэгш өнцөгт хэлбэртэй зангилааны цэгүүд дээр оройтой бөгөөд талууд нь квадратын талуудтай параллел хоёр дэд хүснэгтийг хэчнээн янзаар сонгож болох вэ? Энд сонгох дарааллыг харгалзахгүй.