Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. 1-р машин $A$ хотоос, 2-р машин $B$ хотоос нэгэн зэрэг өөд өөдөөсөө угталцан гарав. Машинууд тогтмол хурдтай явсан ба $A$, $B$ хотуудад очингуутаа шууд буцаад хөдөлж байв. 1-р машин 2-р машинаас 1,25 дахин их хурдтай байв. Хоёр машин 2 дахиа уулзсан цэгээс 3 дахиа уулзсан цэг хүртлэх зай 56 км байсан бол $A$, $B$ хотуудын хоорондох зайг ол.

2.

1. $a^{3} = b^{3}+61$ байдаг бүх натурал тоон $(a, b)$ хосыг ол.
   


2. $a^{5} = b^{5}+61$ байдаг бүх натурал тоон $(a, b)$ хосыг ол.
   

3. $BC$, $AD$ талууд нь тэнцүү урттай байдаг $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгджээ. $BC=CE=DE$ байдаг $E$ цэгийг $E$ болон $A$ цэгүүд $CD$ шулууны хоёр өөр талд оршиж байхаар авав. Хэрэв $\angle BAE+\angle CBE=90^\circ$ байсан бол $\angle ABE+\angle DAE=90^\circ$ гэж батал.

4. $45 \times 45$ хүснэгтэд $1$-ээс $2025$ хүртэлх тоог дараалсан хоёр тоо хөрш нүдэнд байрладаг байхаар бичив. Тэгвэл $1^{2}, 2^{2}, \dots, 45^{2}$ тоонууд нэг мөрөнд бичигдсэн байх боломжтой юу? Энд ерөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ.