1. Нүднүүдэд нь $1$, $2$, \dots, $120$ тоонуудыг нэг, нэгээр нь нүд бүрд нь ялгаатай тоо байхаар бичсэн $2\times 60$ хэмжээтэй хүснэгтүүдийг авч үзье. Хүснэгтийн мөр, багана бүрийн хувьд тэнд бичигдсэн тоонуудын нийлбэр болох $62$ тоо бүгдээрээ тэгш тоо байвал тэгш хүснэгт, харин бүгдээрээ сондгой тоо байвал сондгой хүснэгт гэж нэрлэе. Бүх боломжит тэгш хүснэгтийн тоо ба бүх боломжит сондгой хүснэгтийн тооны аль нь их вэ?

2. $\omega_1$, $\omega_2$ тойргууд $P$, $Q$ ялгаатай цэгүүдэд огтлолцоно. $P$ цэгийг дайрсан шулуун $\omega_1$ тойрогтой дахин $A$ цэгт, $\omega_2$ тойрогтой дахин $B$ цэгт огтлолцоно. $l$ шулуун $\omega_1$ тойрогтой $E$, $D$ цэгүүдэд, $\omega_2$ тойрогтой $C$, $F$ цэгүүдэд огтлолцох ба $C$, $D$ цэгүүд $E$, $F$ цэгүүдийн хооронд оршино. ($A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ нь бүгд ялгаатай цэгүүд.) $AE$, $BC$ шулуунууд $H$ цэгт, $AD$, $BF$ шулуунууд $G$ цэгт огтлолцоно. $C$ цэгийг дайрсан $BF$ шулуунтай параллел шулуун, $D$ цэгийг дайрсан $AE$ шулуунтай параллел шулуунтай $M$ цэгт огтлолцоно. $H$, $M$, $G$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

3. $\Set{P_{n}(x)}_{n \ge 0}$ олон гишүүнтийн дарааллыг $P_{0}(x) = 0$ ба $n \ge 0$ үед
\begin{equation}
P_{n+1}(x) = P_{n}(x) + \dfrac{x - P_{n}(x)^{2}}{2}
\end{equation}
гэж тодорхойлъё. Дурын $m \ge n \ge 0$ ба $0 \le x \le 1$ тоонуудын хувьд
\begin{equation}
\abs{P_{m}(x) - P_{n}(x)} < \dfrac{1}{n+1}
\end{equation}
байна гэж харуул.

4. $f(x)$ квадрат гурван гишүүнтийг ямар нэг $g(x)$ квадрат гурван гишүүнт дурын бодит $x$ тооны хувьд $g(f(x))=f(x)\cdot g(x)$ байхаар олддог бол сайн гэе.

Ямар нэг сайн олон гишүүнтийн язгуур болж чадах $2025$-аас хэтрэхгүй натурал тоо хэд байх вэ?

5. $211 \cdot 3^{k} + 5^{m} = 2024^{n}$ тэгшитгэлийн бүх $(k, m, n)$ сөрөг биш бүхэл тоон шийдийг ол.

6. Нэгэн улс $n$ арлаас бүрддэг. Зарим арлууд хоорондоо натурал тоон нэгж төлбөртэй гүүрээр холбогддог ба гүүрүүд хоорондоо арлаас өөр газарт огтлолцдоггүй байв. Ижил арал дээр төгсгөлтэй гүүрүүдийг холбон зам хийнэ.

Аль ч хоёр арлыг холбосон яг нэг зам байх бөгөөд бүх замуудын нийт төлбөр хоорондоо ялгаатай ба $N = n(n-1)/2$ тооноос хэтэрдэггүй бол $n$ эсвэл $n-2$ бүтэн квадрат гэж батал.

Жишээлбэл $A$, $B$, $C$, $D$ дөрвөн арлаас бүрдэх ба $d(A, B) = 1$, $d(A, C) = 2$, $d(A, D) = 4$ нэгж төлбөртэй ба бусад арлууд холбогдоогүй байхад нөхцөл биелнэ.