1. $\Gamma$ тойргийн гадна орших $P$ цэгээс уг тойрогт $PA$, $PB$ шүргэгчид татав. ($A$, $B$ цэгүүд $\Gamma$ тойрог дээр оршино.) $AB$ хэрчим дээр $K$ цэг авав. $PKB$ гурвалжныг багтаасан тойрог $\Gamma$ тойрогтой 2 дахиа $D$ цэгт огтлолцоно. $P$ цэгийг $A$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад $P'$ гарах бол $\angle P'KA=\angle PBD$ гэж батал.

2. $x$, $y$ тоонууд $p$-д хуваагддаггүй, харин $x^2+y^3+1$ тоо $p$-д хуваагддаг байх $x$, $y$ бүхэл тоонууд оршин байдаг байг. Ийм чанартай бүх $p$ анхны тоонуудыг ол.

3. $P$ гэсэн гүдгэр олон өнцөгт өгөгдөв. $P$ олон өнцөгтийг дараах чанартай $P_1,\dots,P_n$ олон өнцөгтүүдэд хувааж болох уу? Үүнд: $1\leq i\leq n$ байх $P_i$ бүр нь ядаж 6 талтай ба $P_i$ олон өнцөгтийн орой бүр нь ядаж 2 ялгаатай $P_j$, $P_k$ олон өнцөгтийн орой болдог. ($i$, $j$, $k$ тоонууд хос хосоороо ялгаатай.)

4. Анх $24\times 24$ хүснэгтийн нүд бүр цагаанаар будагдсан байв. Аль нэг мөр эсвэл баганыг сонгоод түүн дээрх нүднүүдийн өнгийг эсрэгээр солих үйлдэл өгөгджээ. Цагаан нүд бүрийг хараар, хар нүд бүрийг цагаанаар сольно гэсэн үг. Төгсгөлөг үйлдлийн дараа хүснэгтэд яг 574 хар нүд байх боломжтой юу?

5. $\Gamma$ тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжин өгөгджээ. $BC$ тал дээр төвтэй, $AB$, $AC$ шулуунуудыг шүргэх тойргийг $\omega_A$ гэе. $\Gamma$ болон $\omega_A$ тойргууд $X_A$, $Y_A$ гэсэн ялгаатай цэгүүдэд огтлолцоно. Мөн $BC$, $X_AY_A$ шулуунууд $A'$ цэгт огтлолцож байв. Үүнтэй төстэйгээр $B'$, $C'$ цэгүүдийг авав. Тэгвэл $A'$, $B'$, $C'$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.

6. Дурын $a$, $b$, $c$, $d$ бодит тоонуудын хувьд
\[f(a-b)f(c-d)+f(a-d)f(b-c)\leq(a-c)f(b-d)\]
нөхцөл биелдэг бүх $f:\mathbb R\to \mathbb R$ функцийг ол.