1. Хэрвээ $x-y=3$ бол $2x^2-6y^2$ илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.

Хариу: 27

2. Периметр нь $2023$-тай тэнцүү, бүхэл тоон талуудтай, адил хажуут гурвалжны талбай хамгийн их байхын тулд хажуу талын урт хэд байх вэ?

Хариу: 674

3. $f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\sqrt{i}]$ бол $f(100)=?$ (Энд $[x]$ тооны бүхэл хэсгийг тэмдэглэв.)

Хариу: 625

4. $2023$-аас хэтрэхгүй $3$-д хуваагддаг боловч $4$ ба $5$-д хуваагддаггүй хэчнээн натурал тоо байх вэ?

Хариу: 405

5. Аль ч хоёр дараалсан цифр нь ялгаатай, эхний ба сүүлийн цифр нь хоорондоо тэнцүү, 5~оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ?

Хариу: 5913

6. Нэр заасан хоёр сурагч хамт нэг бүлэгт орохгүй гэвэл 9 сурагчийг 3, 3-аар нь гурван бүлэгт хэчнээн янзаар хувааж болох вэ? Бүлгүүд зөвхөн хүнээрээ л ялгагдана.

Хариу: 210

7. $99!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot 99$ гэсэн үржвэрээс хамгийн цөөндөө хэдэн үржигдэхүүн дарахад үлдсэн тоонуудын үржвэр $2$-оор төгссөн тоо гарах вэ?

Хариу: 20

8. $\begin{cases}
x^{x+y}=y^{90}\\
y^{x+y}=x^{10}
\end{cases}$ системийн натурал тоон шийд нь $(x_i,y_i)$ бол $\sum \frac{x_i}{y_i}$-г ол.

Хариу: 10

9. Нэгэн натурал тоо яг $60$ ширхэг натурал хуваагчтай. Тэгвэл энэ тооны квадрат хамгийн олондоо хэдэн натурал хуваагчтай байж болох вэ?

Хариу: 405

10. $ABCDE$ гүдгэр 5-өнцөгтийн $AB$ тал $EC$ шулуунтай параллел, $CD$ тал $BE$ шулуунтай параллел, $ED$ тал $AC$ шулуунтай параллел байв. Хэрэв $2AB=EC$ ба $BCD$ гурвалжны талбай $16$ байсан бол $ABCDE$ 5-өнцөгтийн талбайг ол.

Хариу: 52

11. $ABC$ гурвалжны $AB$ талын дундаж $D$ цэг, $BC$ талын дундаж $E$ цэг байв. Хэрэв $AB=16$, $CD=18$, $AE=15$ урттай байсан бол $ABC$ гурвалжны талбайг ол.

Хариу: 144

12. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$ гэе. $O$ цэгийг дайрсан шулуун $AB$ талтай $D$ цэгт, $AC$ талтай $E$ цэгт огтлолцдог ба $BDEC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байв. Хэрэв $\angle DOB=2\angle COE$ ба $\angle B=53^\circ$ байсан бол $\angle C$ өнцгийг ол.

Хариу: 61