Монголын Математикийн Олимпиадын Хороо

1. Усан санд $4$ хоолой байрлуулжээ. Эхний $2$ хоолойгоор усан сан руу ус дүүргэдэг, үлдсэн $2$ хоолойгоор усан сангаас ус асгадаг. Хэрэв $4$ хоолой зэрэг ажиллах үед усан сан $2.5$ цагт дүүрдэг, зөвхөн $1$, $2$, $3$-р хоолой ажиллах үед $1.5$ цагт дүүрдэг, зөвхөн $1$, $3$, $4$-р хоолой ажиллах үед $15$ цагт дүүрдэг бол зөвхөн $1$, $3$-р хоолой ажиллах үед хэдэн цагт дүүрэх вэ?

2. Аль ч хоёрыг нь авахад нэг нь нөгөөдөө хуваагддаггүй, аль ч хоёрынх нь үржвэр үлдсэн бүх тоондоо хуваагддаг 10 натурал тоо олдох уу?

3. Батаа самбарт $20$-оос хэтэрдэггүй хэдэн ялгаатай натурал тоог, самбарт бичигдсэн аль ч тоо самбарт бичигдсэн бусад тоонуудын нэгээс олонгүйд хуваагддаг байхаар бичихийг хүсжээ.

1. Батаа самбарт $14$ ширхэг тоо бичиж чадахыг харуул
   


2. Батаа самбарт $15$ ширхэг тоо бичиж чадахгүйг харуул.
   

4. $a$, $b$, $c$ бодит тоонууд гэе.

1. $a^2 + b^2 = c^2$ ба $a^3+ b^3 = c^3$ нөхцөл биелдэг бол $a =0$ эсвэл $b = 0$ болохыг харуул.
   


2. $a^3+ b^3 = c^3$ ба $a^4 + b^4 = c^4$ нөхцөл биелдэг бол $a =0$ эсвэл $b = 0$ болохыг харуул.
   

5. Цифрүүдийнхээ куб зэргүүдийн нийлбэртэй тэнцдэг $37$-д хуваагдах бүх гурван оронтой тоог ол.

6. Яг $2000$ ширхэг зохиомол тоо агуулсан дэс дараалсан $2023$ ширхэг натурал тоо оршин байна гэж батал.