Бүртгүүлэх Нэвтрэх

ММО-59, II даваа II шат, D (7-8) ангилал

1. $n$ натурал тоо бол $3^n +5^n$ нийлбэр бүтэн квадрат биш гэж батал.

2. $ABCD$ трапецын $CD$ хажуу талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $BM$ хэрчим $AC$ диагональтай $E$ цэгт огтлолцоно. $AE$ хэрчим дээр $EC=EL$ байх $L \ne C$ цэг авав. $BL$ шулуун $AD$ суурьтай $K$ цэгт огтлолцоно. $AK=KD$ гэж батал.

3. Алимаа самбарт $2023$-аас хэтрэхгүй хэдэн ялгаатай натурал тоог, самбарт бичигдсэн ямар ч хоёр тооны нийлбэр ялгавартаа хуваагдахгүй байхаар бичихийг хүсжээ. Жишээлбэл $4 \nmid 10$, $13 \nmid 27$, $17 \nmid 23$ тул Алимаа $3$, $7$, $20$ тоонуудыг бичиж болно.


  1. Алимаа самбарт $676$ ширхэг тоо бичиж чадахгүйг харуул.

  2. Алимаа самбарт $675$ ширхэг тоо бичиж чадахыг харуул.

4. Натурал $n$ тоог $m \ge 2$ ширхэг ялгаатай $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{m}$ натурал тоонуудын $n = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}$ нийлбэрт
\[
\frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} + \dots+\frac{1}{a_{m}} =1
\]
байхаар задалж болдог бол $n + 7 \le a_{1} a_{2}$ болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.