1. Ахмад гишүүний коэффициент нь 1 байх 3 зэргийн $f(x)$ олон гишүүнтийн хувьд $f(2)=6$, $f(3)=9$, $f(4)=12$ бол $f(5)$ утгыг ол.

Хариу: 21

2. $AB=CD$ байх $ABCD$ адил хажуут трапецийн диагоналууд $O$ цэгт огтлолцоно. $AD>BC$ ба $AD=12$ байв. $CD$ хэрчмээр диаметрээ хийсэн тойрог $O$ цэгийг дайрдаг ба $AD$ талтай $E$ цэгт огтлолцов. Хэрэв $ED=3$ бол $ABCD$ трапецийн талбайг ол.

Хариу: 81

3. Ямар ч $x$ бодит тооны хувьд $|x-1|+|x-2|+\dots+|x-n|\ge 2022$ тэнцэтгэл биш биелдэг байх хамгийн
бага $n$ натурал тоог ол.

Хариу: 90

4. $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, $(b_1,b_2,b_3,b_4)$, $(c_1,c_2,c_3,c_4)$ нь $(1,2,3,4)$-ийн ямар нэг сэлгэмэлүүд болог.
$$S=a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3+a_4b_4c_4$$
нийлбэрийн авч болох хамгийн бага утгыг ол.

Хариу: 44

5. $z=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{15}$ ба $z^4=Az^2+Bz+C$, $A$, $B$, $C$ бүхэл тоонууд бол $C$-г ол.

Хариу: 11

6. $T_n$-ээр $(x+y+z)^n$ илэрхийлэлд хаалт задлаж төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэсний дараах гишүүдийн тоог тэмдэглэе. Тэгвэл
$$S=T_0-T_1+T_2-\dots-T_{2021}+T_{2022}$$

Хариу: 1024144

7. Ижил радиустай $\omega _1$, $\omega_2$ тойргуудын огтлолцлын цэгүүдийн нэгийг $B$ гэе. $\omega _1$ тойргийн төвийг $O_1$, $\omega_2$ тойргийн төвийг $O_2$ гэе. $O_1B$ шулуун $\omega_2$ тойрогтой $A$ цэгт огтлолцоно. $O_1O_2$ хэрчим $\omega_1$-тэй $C$ цэгт огтлолцдог ба $AC$ шулуун $\angle O_1AO_2$ өнцгийн биссектрисс болдог бол $\angle AO_1O_2$ өнцгийг ол.

Хариу: 36

8. Дараах зурганд 5 ширхэг гурвалжин өгөгдөв. Ерөнхий талтай гурвалжнууд нь ялгаатай өнгөтэй байхаар эдгээр гурвалжнуудыг улаан, цэнхэр, шар, ногоон өнгөөр хэчнээн янзаар будаж болох вэ? (Өнгө бүр орох албагүй.)

Хариу: 240

9. Элементүүдийнх нь нийлбэрийг $12$-д хуваахад $1$ үлдэгдэл өгдөг $\{1,2,3,\dots,12\}$ олонлогийн $4$ элементтэй дэд олонлогийн тоог ол.

Хариу: 40

10. Кубын эсрэг хоёр орой дээр нэг, нэг шоргоолж байжээ. Минут бүрд шоргоолжнууд байгаа оройтойгоо ирмэгээр холбогдсон аль нэг орой руу шилжинэ. 4 минутын дараа шоргоолжнууд анх байсан оройнууд дээрээ ирэх магадлалыг $\dfrac{n}{m}$ ба $\text{ХИЕХ}(n,m)=1$ гэе. Тэгвэл $n+m$ тоо хэдтэй тэнцүү вэ?

Хариу: 778

11. $ABCD$ квадратын $BD$ диагонал дээр $E$ цэг авав. $AB$ шулууны хувьд $AE$ шулуунтай тэгш хэмтэй шулууныг $l$ гэе. $CE$ болон $l$ шулуунууд $M$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $AB=5\sqrt{2}$, $AM\cdot CM=14$, $CM>AM$ бол $CM:AM$ харьцааг ол.

Хариу: 7

12. $3^{3^a}-a$ тоо $31$-д хуваагддаг байх хамгийн бага $a$ эерэг бүхэл тоог ол.

Хариу: 23