1. Бодлого 1

Дүгнэх аргачлал:

1. Зөв хариу олоход $1$ оноо.
   


2. Хариугаа зөв гэж шалгахад $1$ оноо.
   


3. Бутархай хэсгийн нийлбэр эсвэл үлдэгдлүүдийн нийлбэр олоход $1$ оноо.
   


4. Өөр шийд байхгүй гэж батлахад $4$ оноо.
   

2. Бодлого 2

Дүгнэх аргачлал:

1. $APDE$, $CQDF$-г нэг тойрог дээр оршино гэж баталбал 1 оноо.

2. $OT$-г $\alpha$ ба $\gamma$-д шүргэгч гэж баталбал 1 оноо.

3. $TPQDK$ нэг тойрог дээр гэж баталбал 1 оноо.

4. $PK\parallel BC$ гэж харуулбал 2 оноо.

Бүтэн бодолт 7 оноо.

3. Бодлого 3

Дүгнэх аргачлал:

1. $b_i=a_i+a_{i-k-1}-1$ гэдгийг авч үзвэл $2$ оноо.

2. $b_i=1$, $b_{i+1}+\dots+b_{i+n}\ge 0$ гэж батлахад болно гэж харуулбал $1$ оноо.

3. $b_{i_j}$ дараалал авч үзсэн бол $2$ оноо.

Бүтэн бодолт $7$ оноо.

4. Бодлого 4

Дүгнэх аргачлал:

1. $\{\gcd(\alpha,s)\mid s\in S, s\neq\alpha\}$ ядаж 2 элементтэй гэж харуулбал $1$ оноо.

2. $B=\{\beta\in S\mid \gcd(\alpha,\beta)=d\}$. $|B|$ төгсгөлгүй байх $B$ олдоно гэж харуулаад авч үзвэл $1$ оноо.

3.  $(\alpha,\gamma)\neq d$ $\gamma$-ийн хувьд $(\gamma;\beta_1)=(\gamma;\beta_2)$ байх $\beta_1,\beta_2\in B$ олсон бол $2$ оноо.

4. $\gamma$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\alpha$-аас аль нэг гурав нь нөхцөл хангана гэж баталбал $3$ оноо.

5. Бодлого 5

6. Бодлого 6

Дүгнэх аргачлал:

1. $n>100$ үед $a,b,c<\dfrac{n-1}{2}$ гэж харуулсан бол $1$ оноо.

2. $v_p(n!) < \sum_{s=1}^{\infty}\dfrac{n}{p^s}=\dfrac{n}{p-1}$ томьёог баталсан эсвэл ашигласан бол $1$ оноо.

3. $n$ сондгой биш гэж харуулбал $1$ оноо.

4. $a+b, b+c, c+a$ гурван тоо нэгэн зэрэг 2-ийн зэрэг биш гэж харуулбал $2$ оноо.

5. $1,2,\dots,n$ тоонуудын дунд $p$-ийн давталт хамгийн олондоо 2 ширхэг байна гэж харуулбал $2$ оноо.

Бүтэн бодолт $7$ оноо.