1. $a_{1} = \dfrac{5}{3}$, $a_{2} = \dfrac{41}{9}$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation*}
a_{n+2} =4(a_{n+1}-1){a_{n}^{2}} + 1
\end{equation*}
гэе. $a_{n}$-ээс хэтэрдэггүй хамгийн их бүхэл тоог $b_{n}$ гэвэл $b_{63}$ тооны сүүлийн хоёр оронг ол.

2. $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $AB$ гипотенузын дундаж цэг $M$ байв. $AC$ катет дээр $N$ цэгийг, $BC$ катет дээр $L$ цэгийг $MN=ML$ байхаар авав. $AN\cdot NC=100$ ба $CL=4$ бол $LB$ хэрчмийн уртыг ол.

3. $\{1, 2, 3, \dots, 9\}$ олонлогийн хоосон биш, гишүүдийн нийлбэр нь гуравт хуваагддаг дэд олонлогийн тоог ол.

4. Тавт болон аравтын тооллын системд палиндром бичигддэг, өөрөөр хэлбэл зүүн ба баруунаасаа ижил уншигддаг, $1000$-аас хэтэрдэггүй хамгийн их тоог ол.

5. $ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буулгасан өндрийн суурийг $D$ гээд $AC$ талын дундаж цэгийг $E$ гэе. $AB$ тал дээрх $F$ цэгийн хувьд $\angle BFC=\angle BCA$ байв. $FC$ хэрчим $AD$ хэрчимтэй $M$ цэгт, $DE$ хэрчимтэй $N$ цэгт огтлолцдог гэе. $NC=FN$ ба $FM=MN=1$ бол $ABC$ гурвалжны талбайн квадратыг ол.

6. $x = \sqrt{6 + \sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3+x}}}}$ бол $x < 3$ гэж батал.

7. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $BC$ тал дээр $M$ цэгийг, $AD$ тал дээр $N$ цэгийг $BM:MC=AN:ND$ байхаар авав. Мөн $AB$ тал дээрх $K$ цэгийн хувьд $\angle BDC=\angle MNK$ байдаг ба $CD$ тал дээрх $L$ цэгийн хувьд $\angle ABD=\angle NML$ байдаг гэе. $BD$, $KN$, $ML$ шулуунууд эсвэл нэг цэгт огтлолцоно эсвэл параллел байна гэж батал.

8. $10 \times 10$ хөлгийн нүд бүрт нэг нэг жимс байрлуулжээ. Жимснээс Жигмэд, Тогмид хоёр ээлжилж идэх ба хамгийн сүүлийн жимсийг идсэн хүн хожигдоно. Нэг удаад дор хаяж нэг жимс идэх бөгөөд идсэн жимс бүрээсээ дээшээ мөн баруун тийшээ байдаг бүх жимсийг иднэ. Жигмэдээс идэж эхэлсэн бол зөв тоглоход хэн хожих вэ? Жишээлбэл, нэг удаад

гэж идэж болно.

9. Цифрүүдийнх нь нийлбэр $11$-т хуваагддаггүй дэс дараалсан $38$ ширхэг тоо, хамгийн багадаа хэдээс эхлэх вэ? (Тоо тус бүрийн цифрүүдийн нийлбэр 11-д хуваагддаггүй.)