IMO I шатны I сорил, F (11-12) ангилал
1.
$a \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$, $d \ge 0$ бодит тоонуудын хувьд $ab + 4cd = 9$ бол
\begin{equation*}
a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}
\end{equation*}
илэрхийлэл хамгийн багадаа ямар натурал утга авах вэ?
\begin{equation*}
a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}
\end{equation*}
илэрхийлэл хамгийн багадаа ямар натурал утга авах вэ?
Хариу: 18
2.
Тойргийн $AC$, $BD$ хөвчүүд $P$ цэгт огтлолцоно. $C$ цэгийг дайрсан $AC$ шулуунд перпендикуляр шулуун, $D$ цэгийг дайрсан $BD$ шулуунд перпендикуляр шулуунтай $Q$ цэгт огтлолцоно. $PQ$ шулуун $AB$ хэрчимтэй $R$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $AP=26$, $PC=12$, $PQ=13$ бол $AR$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 10
3.
$1, 2, 3, \dots, 7$ гэж дугаарласан долоон цаасан дээр $1, 2, 3, \dots, 7$ тоонуудыг нэг нэгээр нь бичнэ. Ядаж нэг тэгш дугаартай цаасан дээр тэгш тоо бичигдсэн байхаар хэдэн янзаар бичиж болох вэ?
Хариу: 4464
4.
Бүхэл коэффициенттой, $3$ зэргийн $P(X)$ олон гишүүнтийн хувьд
бол $P(101)$ утгыг $101^{2}$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
- $P(1)+P(-1) = P(2) + P(-2) = P(3) + P(-3) = \dots = P(100) + P(-100) = 2$ ба
- $P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + \dots + P(100)$ нийлбэр $101^{2}$-д хуваагддаг
бол $P(101)$ утгыг $101^{2}$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Хариу: 203
5.
Талсууд нь улаан, ногоон, шар өнгийн аль нэгээр будагдсан нэгж кубууд дотор дээрх гурван өнгө бүгдээрээ ядаж нэг удаа орсон, ялгаатай куб хамгийн олондоо хэдэн ширхэг байж болох вэ? Талс бүрийг өнгө холихгүйгээр дан нэг өнгөөр будсан ба эргүүлэлтээр давхацдаг кубуудыг ижил гэж тооцно.
Хариу: 30
6.
$\ell$, $m$, $n$ бүхэл тоонуудын хувьд $x= \sqrt[3]{\ell} + \sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}$ тоо
\begin{equation*}
x^{3}= 3x^{2}+6x+4
\end{equation*}
адилтгалыг хангадаг бол $\ell + m + n$ нийлбэрийг ол.
\begin{equation*}
x^{3}= 3x^{2}+6x+4
\end{equation*}
адилтгалыг хангадаг бол $\ell + m + n$ нийлбэрийг ол.
Хариу: 13
7.
$AB=AC$ байх $ABC$ гурвалжны $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $M$ цэгийг дайруулж татсан шулуун $AB$ талтай $D$ цэгт, $AC$ цацрагтай $E$ цэгт огтлолцоно. $EM=2DM$ ба $CE+BD=12$ бол $AE$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 24
8.
Зөв $12$ өнцөгтийн $6$ оройг хараар, $6$ оройг цагаан өнгөөр будав. Эргүүлэлтээр давхцахгүй ялгаатай будалтын тоог ол.
Хариу: 80
9.
$A$, $B$, $C$ цифрүүдийн хувьд $\overline{AB} \times \overline{AB} \times \overline{ABC} = \overline{CAAAC}$ бол $\overline{ABC}$ тоог ол. Энд $A \ne 0$, $C \ne 0$ ба ялгаатай үсгүүд ялгаатай цифр тэмдэглэнэ.
Хариу: 197
10.
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AB=BC$ байв. $B$ цэгээс $CD$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $H$, $AC$ диагоналын дундаж цэгийг $M$ гэе. Хэрэв $\dfrac{BM}{BH}=\dfrac{3}{4}$ ба $AD+CD=16$ байсан бол $AC$ диагоналын уртыг ол.
Хариу: 12