ММО-58, Дунд 2, Бүс дүүрэг, E (9-10) ангилал
1.
$n \ge 5$ натурал тоо өгөгдөв. $n$-ээс хэтрэхгүй ялгаатай $a$, $b$, $c$ натурал тоонуудын хувьд $a(b + 1)$, $b(c + 1)$ үржвэрүүд $n$-д хуваагддаг бол $(a + 1)c$ үржвэр $n$-д хуваагдахгүй гэж харуул.
2.
Зүүн дээд булан нь цагаан өнгөтэй $12\times 12$ хэмжээтэй шатрын хөлгийн цагаан нүднүүд дээр $36$ ширхэг хүүг аль ч хүү нэг нүүдлээр өөр хүү идэж чадахгүй байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Нэг нүдэнд хамгийн олондоо нэг хүү байрлуулж болно. Хүү зурагт үзүүлснээр иднэ.
Нэг нүдэнд хамгийн олондоо нэг хүү байрлуулж болно. Хүү зурагт үзүүлснээр иднэ.
Бодолт 1.
АА-1-ийн бодолтийг хар.
3.
$\angle A=90^\circ$ ба $AB=2AC$ байх $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр $M$ цэг авав. $A$ цэгээс $BM$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $P$, $C$ цэгээс $BM$ шулуунд татсан перпендикулярын суурийг $Q$ гэе. $4PQ+2QC=BP$ гэж батал.
Бодолт 1.
$CM$ цацрагийн үргэлжлэл дээр $\angle ANC=90^\circ$ байх $N$ цэг авбал \[AN=PQ,\quad CN=AP+CQ\] байна.
$\angle BAC=\angle BMC=90^\circ$ учир $B, A, M, C$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино.
Иймд $\angle ABM=\angle ACM$ болох ба тэгш өнцгүүдийг тооцвол
$\triangle BAP\sim \triangle CAN$ болно. Төсөөгийн харьцаа бичвэл \[2=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BP}{CN}=\dfrac{AP}{AN}\] гарна.
Эндээс $AP=2AN$, \[BP=2CN=2AP+2CQ=4AN+2CQ=4PQ+2CQ\]
болж батлагдана.
Онооны схем
- $ABCQ$ тойрогт багтана 1 оноо,
- $\triangle PAQ \sim \triangle ABC$ 2 оноо,
- $\dfrac{AP}{PQ}=\dfrac{AB}{AC}=2$ гэсэн үр дүн, мөн үүнтэй эквивалент үр дүнд 1 оноо,
- Бүтэн бодолт 7 оноо
4.
${\underbrace{99 \dots 99}_{2997}}$ тоо ${998001}$-д хуваагдахыг харуулж, ногдворын эхний дөрвөн оронг ол.