1. $2n$ оройтой олон өнцөгт бүрийн хувьд түүнийг тэнцүү тооны оройтой хоёр олон өнцөгтөд хуваадаг, уг олон өнцөгтөд бүхлээрээ багтдаг диагональ татаж чаддаг байх бүх $n\ge 2$ тоог ол.

2. $ABC$ гурвалжны $A$, $C$ цэгүүдийг дайрсан тойрог $AB$, $BC$ хэрчмүүдийг харгалзан $B$ цэгээс ялгаатай $M$, $K$ цэгүүдэд огтолдог байв. $BKM$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AK$ хэрчимтэй $D$ цэгт огтлолцдог ба $BD$ шулуун $MK$ хэрчимтэй $S$ цэгт, $AC$ хэрчимтэй $L$ цэгт огтлолцдог байв. $AB$ тал дээр $T$ цэгийг $\angle ALT = \angle CBL$ байхаар авсан бол $TS$ шулуун $AK$ шулуунтай параллель гэж батал.

3. Дурын натурал $k \ge 1$ тооны хувьд $7^k$ тоонд хуваагдах
\[1 + 2^n + 3^n\]
хэлбэрийн тоо олдоно гэдгийг батал.

4. $0 \le a_1, a_2,\dots, a_n \le 1$ тоонуудын хувьд
\[\dfrac{1-a_1a_2\dots a_n}{n}\le\dfrac{1}{1 + a_1 + a_2 + \dots + a_n}\]
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

5. $20\times20$ хүснэгтийн зарим нүдийг хар өнгөөр будахыг будалт гэе. Өгөгдсөн
$P$ будалтын хувьд хүснэгтээ хоёроос олонгүй тооны хар нүдтэй тэгш өнцөгтүүдэд шугамын
дагуу хуваахад нэгээс олонгүй тооны хар нүдтэй тэгш өнцөгтийн тоо хамгийн багадаа $n(P)$
байдаг гэе. $n(P)$ тооны авч болох хамгийн их утгыг ол.

6. $I$ төвтэй $\omega$ тойргийг багтаасан $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $AD$, $BC$
шулуунууд $Q$ цэгт, харин $AB$, $CD$ шулуунууд $P$ цэгт огтлолцдог бөгөөд $B$ цэг $AP$ хэрчим
дээр, $D$ цэг $AQ$ хэрчим дээр байв. $PBD$, $QBD$ гурвалжнуудад багтсан тойргийн төвүүдийг
харгалзан $X$, $Y$ гэе. $PY$, $QX$ шулуунууд $R$ цэгт огтлолцдог бол $RI\perp BD$ гэж батал.