1. Натурал $k$ тоо ба $a_1=2+2016$, $a_2=2^2+2016$, $a_3=2^{2^2}+2016$, $\dots$, $a_n=\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}_n+2016$ гэсэн дараалал өгөгдөв. Энэ дараалалд $k$-д хуваагддаг гишүүн ядаж хоёр олддог бол төгсгөлгүй олон олдоно гэж батал.

2. Тойргоор тоглосон тэмцээнд 52 сурагч оролцжээ. Хэдэн тоглолтын дараа аль ч сурагчийг сонгон авахад түүнтэй тоглосон сурагчдын
тоглолтын тоо ялгаатай байсан бол хамгийн олондоо хэдэн тоглолт явагдсан байсан бэ?

3. $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $P$ ба $Q$ цэгүүдийг
$\measuredangle BAP=\measuredangle ACB$ ба $\measuredangle CAQ=\measuredangle ABC$ байхаар сонгон авчээ. $AP$ шулуун дээр $N$ цэгийг $AP=PN$ байхаар, $AQ$ шулуун дээр $M$ цэгийг $AQ=QM$ байхаар авав. $BN$ ба $CM$ шулуунууд $L$ цэгт огтлолцдог бөгөөд $BC$ талын дундаж цэг нь $K$ бол $\measuredangle BAK=\measuredangle CAL$ гэж батал.

4. Эерэг $a, b, c$ тоонуудын хувьд $a+b+c=3$ бол
\[\dfrac{a+b}{2ab+1}+\dfrac{b+c}{2bc+1}+\dfrac{c+a}{2ca+1}\ge2\]
гэж батал.

5. $p, q, r$ нь ялгаатай сондгой анхны тоонууд болог. Натурал
$n$ тооны хувьд $n, pqr$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагчийг $f(n)$, өөрөөр хэлбэл $f(n)=(n,pqr)$ гэж тэмдэглэе.
$1\le a,b,c\le pqr$ бөгөөд
\[f (a), f (b), f (c), f (a+b), f (b+c), f (c+a), f (a+b+c)\]
утгууд нь бүгд ялгаатай байдаг $(a,b,c)$ гурвалын тоог ол.

6. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн дотор $M$ цэгийг $\measuredangle BMC=\measuredangle AMD$ байхаар авав. $AB$, $CD$ талууд дээр гадаад байдлаар $ABE$, $CDF$ гурвалжнуудыг
\[\measuredangle BAE=\measuredangle DAM, \measuredangle ABE =\measuredangle CBM, \measuredangle CDF=\measuredangle ADM, \measuredangle DCF=\measuredangle BCM\]
байхаар авав. Тэгвэл $M$, $E$, $F$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж батал.