1. $ABC$ гурвалжны багтаасан $\omega$ тойргийн $A$ оройг агуулаагүй $BC$ нумын дундаж $M$ цэг ба уг гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ цэгийг дайрсан $\gamma$ тойрог татжээ. $\gamma$ тойрог $BC$ талыг $D$, $E$ цэгүүдэд огтлох бөгөөд $MD$, $ME$ шулуун нь $\omega$ тойргийг $M$ цэгээс ялгаатай $P$, $Q$ цэгт огтолдог бол бүх $PQ$ шулуун нь $\gamma$ тойргийн сонголтоос үл хамаарах тогтмол нэг цэгийг дайрахыг батал.

2. $n\times n$ хэмжээтэй шатрын хөлгийг зурагт үзүүлснээр шат хэлбэртэй $A$, $B$ хоёр дүрсэд хуваажээ. ($A$ дүрс нь $\dfrac{n(n-1)}{2}$ ширхэг нүдтэй, $B$ дүрс нь $\dfrac{n(n+1)}{2}$ ширхэг нүдтэй). $0\le k\le n-1$ байх ямарч $k$ тооны хувьд $A$ дүрсэд $k$ ширхэг тэрэг, $B$ дүрсэд $n-k$ ширхэг тэрэг хоорондоо идэлцэхгүйгээр байрлах боломжийн тоо нь $A$ дүрсэд $n-k-1$ ширхэг тэрэг, $B$ дүрсэд $k+1$ ширхэг тэрэг хоорондоо идэлцэхгүйгээр байрлах боломжийн тоотой ижил гэж батал.
\[\includegraphics{7f56a8586cbe24584de364d4ed38a09b.pdf}\]

3. Бүхэл тоон гишүүдтэй, тогтмол биш $a_n$ арифметик прогресс өгөгдөв. Дурын натурал $n$ тооны хувьд $\dfrac{a_n^n+1}{P(a_n)}$ ноогдвор бүхэл тоо байх бүхэл коэффициенттэй бүх $P(x)$ олон гишүүнтүүдийг ол.

4. $p>2$ анхны тоо бол
\[1=1^{k_1}+2^{k_2}+\dots+(p-2)^{k_{p-2}}+(p-1)^{k_{p-1}}\]
нийлбэр нь $p$-д хуваагддаг байхаар $1,2,\ldots,p-1$ тоонуудын $k_1,k_2,\ldots,k_{p-1}$ сэлгэмэл олдохыг батал.

5. $x,y,z>0$ ба $xyz=1$ бол
\[\dfrac{y^2}{x^5(xy+z^2)}+\dfrac{z^2}{y^5(yz+x^2)}+\dfrac{x^2}{z^5(zx+y^2)}\ge\dfrac{9}{2(x^2y+y^2z+z^2x)}\]
гэж батал.

6. $\omega$ тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $\triangle ABD$-ын $B$ өнцгийн симмедиан $\omega$-ыг $P$ цэгт, $\triangle CBD$-ын $B$ өнцгийн симмедиан $\omega$-ыг $Q$ цэгт огтолдог байг. $CP\cap AB=X$, $AQ\cap BC=Y$ бол $X$, $D$, $Y$ цэгүүд 1 шулуун дээр оршино гэж батал.