1. $m\in\mathbb{N}$, $(m,6)=1$ байг. $S_{m}$ нь $m$-ээс бага $m$-тэй харилцан анхны натурал тоонуудын олонлог ба $\displaystyle \sum\limits_{n\in S_{m}}\frac{1}{n}=\frac{A}{B}$, $A$, $B\in\mathbb{N}$ бол $m^{2}\mid A$ гэж батал.

2. $S=\{1,2,\dots,n\}$ ба $A_1$, $A_2$, \dots, $A_m$ нь $S$-ийн $k$ элементтэй дэд олонлогууд,
$B_1$, $B_2$, \dots, $B_m$ нь $\ell$ элементтэй дэд олонлогууд ба
$k+\ell\le n$ байг. Хэрэв дурын $i\ne j$ хувьд $A_i\cap B_i=\varnothing$ ба $A_i\cap B_j\ne\varnothing$
байдаг бол $m\le C_{k+\ell}^{\ell}$ гэж батал.

3. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AC$, $BD$ диагоналийн дундаж цэгүүдийг харгал\-зан $P$, $Q$; $PQ$ шулууны $AB$, $CD$-тэй огтлолцох цэгүүдийг харгалзан $N$, $M$ гэе. Тэгвэл $NAP$, $NBQ$, $MQD$, $MPC$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд нэг цэгт огтлолцохыг батал.

4. $1,2,\dots,n$ тоонуудын $\forall k$ $(1\le k\le n)$ хувьд $|a_k-k|=0$, эсвэл 1, эсвэл 2 байх $a_1,a_2,\dots,a_n$ сэлгэмлийн
тоог $A_n$ гэж тэмдэглэе. $n\ge6$ үед $A_n=2a_{n-1}+2A_{n-3}-A_{n-5}$ тэнцэл биелнэ гэж батал.

5. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн $AC$ талтай шүргэлцэх цэгийг
$D$ гэе. $[BD)$, $[DC)$ цацрагууд ба $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийг гадаад байдлаар
шүргэсэн тойрог $B$ өнцөгт харгалзах гадаад багтсан тойрогтой тэнцүү гэж батал.

6. $1,2,3,\dots,40$ тоонуудыг тойрог дээр да\-раалсан аливаа $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд $41\mid b^{2}-ac$ байхаар хэдэн янзаар байрлуулж чадах вэ? (Эргүүлэлт, тэгш хэмээр бие биедээ шилждэг байрлуулалтуудыг нэг байрлуулт гэж тооцно).