1. Натурал $k$ тооны ялгаатай анхны тоон хуваагчдын үржвэрийг $f(k)$ гэж тэмдэглэе ($f(1)=1$). $a_1\in\mathbb N$, $m\in\mathbb N$ тоонууд өгөгджээ. $n\geqslant 1$ үед $a_{n+1}=a_n+f(a_n)$ гэж тодорхойлогдох дарааллын ямар нэг ялгаатай $m$ ширхэг гишүүд арифметик прогресс үүсгэнэ гэдгийг батал.

2. Гадаад байдлаар шүргэлцсэн, харгалзан $O_1, O_2, O_3$ төвүүдтэй $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ тойргууд өгөгдөв. $\omega_1,\omega_2$ тойргийн шүргэлтийн цэг $P_3$, $\omega_1,\omega_3$ тойргийн шүргэлтийн цэг $P_2$ болог. $A\in\omega_1$ цэгийн $O_1$-ийн хувьд тэгш хэмтэй цэгийг $A_1$ гэж тэмдэглэе.
\[(AP_2)\cap \omega_3=B,\quad (A_1P_3)\cap\omega_2=C,\quad (AP_3)\cap(A_1P_2)=D\]
гэвэл $B, C, D$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэдгийг батал.

3. $n$ талтай кубийг $n^3$ ширхэг нэгж кубэд хуваав. $m$ ширхэг жижиг кубийн төвийг тэмдэглэхдээ, тэмдэглэгдсэн кубийн төвүүд, катетууд нь кубийн талуудтай параллель тэгш өнцөгт гурвалжны орой болж чаддаггүй байхаар тэмдэглэв. $m$-ийн авч болох хамгийн их утгыг ол.

4. $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийн хувьд ямар ч ялгаатай бодит $a,b$ тоонуудыг авахад $|f(a)-f(b)|\leqslant|a-b|$ байжээ. Хэрэв $f(f(f(0)))=0$ байдаг бол $f(0)=0$ гэдгийг батал.

5. $n\in\mathbb N$ тоо өгөгдөв.
\[\left\{\begin{array}{l}
1\leqslant x+v-y\leqslant n\\
1\leqslant x+y-u\leqslant n\\
1\leqslant u+v-y\leqslant n\\
1\leqslant v+x-u\leqslant n
\end{array}\right.\]
тэнцэтгэл бишийн системийг хангах $1\leqslant x,y,u,v\leqslant n$ натурал тоон дөрвөлийн тоог ол.

6. $ABC$ гурвалжны $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ биссектрисүүдийг татав. Хэрэв $B, A_1, B_1, C_1$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршдог бол $\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}-\dfrac{c}{a+b}$ байх ёстойг батал. Энд $a,b,c$ нь $ABC$ гурвалжны $BC, AC, AB$ талын урт болно.