1. Аливаа $a_1,a_2,\ldots,a_n$ бодит тоонуудын хувьд $a_1+x, a_2+x,\ldots, a_n+x$ тоонууд бүгд иррационал байх $x$ бодит тоо олдох уу?

2. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}|a_i-a_{i+1}|$ нийлбэр хамгийн их утгатай байх $1$-ээс $n$ хүртэлх тоонуудын $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ сэлгэмлийн тоог ол.

3. Хавтгай дээр бүгд нэг шулуун дээр оршдоггүй 4 цэг өгөгдөв. Тэгвэл тэдгээрийн аль ч 3 цэг дээр нь оройтой гурвалжны ялгаатай 3 оройгоос нь гарсан медиан, биссектрис, өндрүүд нэг цэгт огтлолцсон байж болох уу?

4. \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll}
f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\
f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n
\end{array}\right.\]
ба $f(1)=1$ нөхцөлийг хангадаг $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ функц өгөгдөв. Тэгвэл $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$ олонлогийн хамгийн их ба бага элементүүдийг ол.

5. $5\measuredangle BAC=3\measuredangle ABC$ байдаг $\triangle ABC$-ны $BC=a$, $AB=c$, $AC=b$ гэвэл
\[(b^2-a^2)^2b^2c^2=abc^2\big(a^2c^2-(b^2-a^2)^2\big)+\big(a^2c^2-(b^2-a^2)^2\big)^2\]
болохыг батал.

6. $n$ хүн тойргоор шатар тоглов. Тоглогчдын ялалтын тоо ба авсан онооны дараал\-лууд эрс, урвуу эрэмбэлэгдсэн байх хамгийн бага тойрог тоглолтын тоог ол (хүн бүр бусад бүх хүнтэй яг нэг удаа тоглохыг тойрог тоглолт гэх ба ялсан хүн $1$ оноо, хожигдсон хүн $0$ оноо, тэнцсэн хүн $0.5$ оноо авна).