ММО-62, III даваа, IMO-67, сорилго №2, F (11-12) ангилал
1.
$a_{1}$, $a_{2}$ натурал тоонуудаар эхлээд $n \ge 2$ үед
\begin{equation}
a_{n+1} = \dfrac{a_{2}}{a_{1}}a_{n} - a_{n-1}
\end{equation}
гэж тодорхойлогдсон $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $\dots$ төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүд натурал тоо байв. $a_{2}/a_{1}$ харьцаа бүхэл гэж батал.
\begin{equation}
a_{n+1} = \dfrac{a_{2}}{a_{1}}a_{n} - a_{n-1}
\end{equation}
гэж тодорхойлогдсон $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $\dots$ төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүд натурал тоо байв. $a_{2}/a_{1}$ харьцаа бүхэл гэж батал.
2.
Элдэв талт, хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$, гурвалжинд багтсан тойргийн төв $I$ байг. $AB$ тал дээр $F$ цэгийг, $AC$ тал дээр $E$ цэгийг $I$ цэг $EF$ хэрчмийн дундаж цэг байхаар авав. $BI$ шулуун болон $\omega$ тойргууд дахин $M_B \ne B$ цэгт, $CI$ шулуун болон $\omega$ тойргууд дахин $M_C \ne C$ цэгт огтлолцдог. Хэрэв $BFM_B$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BC$ шулуунтай дахин $X \ne B$ цэгт, $CEM_C$ гурвалжныг багтаасан тойрог $BC$ шулуунтай дахин $Y \ne C$ цэгт огтлолцдог бол $BX=CY$ гэж батал.
3.
Нэгэн улс $62$ арлаас бүрддэг. Зарим арлууд гүүрээр холбогдох ба гүүрээр холбогдсон арлуудыг хөрш гэнэ. Дараах нөхцлүүд хангагддаг байг:
Нийт гүүрний тоо хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?
- арал бүр ядаж гурван хөрштэй,
- хөрш хоёр арал бүр ядаж нэг ерөнхий хөрштэй,
- аль ч хоёр нь хөрш байдаг дөрвөн арал олдохгүй.
Нийт гүүрний тоо хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?
4.
$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ бодит тоонууд өгөгдөв. $x_{1} = 0$, $y_{1} = 1$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation}
\begin{cases}
x_{n+1} = a_{1}x_{n} + a_{2}y_{n} + a_{3}\\
y_{n+1} = b_{1}x_{n} + b_{2}y_{n} + b_{3}
\end{cases}
\end{equation}
гэж тодорхойлогдсон $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$ дарааллуудын бүх гишүүний хувьд $y_{n} = x_{n}^{3} +1$ тэнцэтгэл биелдэг байв. $\{x_{n}\}$ дараалал зөвхөн төгсгөлөг тооны ялгаатай утга авах боломжтой гэж батал.
\begin{equation}
\begin{cases}
x_{n+1} = a_{1}x_{n} + a_{2}y_{n} + a_{3}\\
y_{n+1} = b_{1}x_{n} + b_{2}y_{n} + b_{3}
\end{cases}
\end{equation}
гэж тодорхойлогдсон $\{x_{n}\}$, $\{y_{n}\}$ дарааллуудын бүх гишүүний хувьд $y_{n} = x_{n}^{3} +1$ тэнцэтгэл биелдэг байв. $\{x_{n}\}$ дараалал зөвхөн төгсгөлөг тооны ялгаатай утга авах боломжтой гэж батал.
5.
$ABC$ хурц өнцөгт гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$ өгөгдөв. $B$ болон $C$ цэгийг дайрсан тойрог $AB$ хэрчмийг $F$ цэгт, $AC$ хэрчмийг $E$ цэгт огтолдог байг. $EF$ хэрчим дээрх $D$ цэгийн хувьд $BD$ шулуун $\omega$ тойргийг $B$ цэгээс ялгаатай $K$ цэгт, $CD$ шулуун $\omega$ тойргийг $C$ цэгээс ялгаатай $L$ цэгт огтолдог гэе. Хэрэв $BFK$ гурвалжныг багтаасан тойрог болон $CEL$ гурвалжныг багтаасан тойргууд $X$, $Y$ ялгаатай хоёр цэгээр огтлолцдог бол $\omega$ тойрог $XY$ хэрчмийн дундаж цэгийг дайрна гэж батал.
6.
Натурал тоон олонлогийг $\mathbb N$ гэж тэмдэглэе. $f(1) = 1$ байдаг бөгөөд дурын $n$, $m$ натурал тоонуудын хувьд
\begin{equation*}
f( f(n)f(n + m) ) = f(f(n) f(m)) + f(f(n))^2
\end{equation*}
байдаг $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ функцийг хонгор функц гэж нэрлэе. $f$ хонгор функцийн хувьд $f(p) < p$ байдаг $p$ анхны тоог онцгой гэе. Эхний $2026$ анхны тоон дотор хонгор функц хамгийн ихдээ хэдэн онцгой анхны тоотой байж болох вэ?
\begin{equation*}
f( f(n)f(n + m) ) = f(f(n) f(m)) + f(f(n))^2
\end{equation*}
байдаг $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ функцийг хонгор функц гэж нэрлэе. $f$ хонгор функцийн хувьд $f(p) < p$ байдаг $p$ анхны тоог онцгой гэе. Эхний $2026$ анхны тоон дотор хонгор функц хамгийн ихдээ хэдэн онцгой анхны тоотой байж болох вэ?