ММО-62, III даваа, E (9-10) ангилал
1.
Тойрог дээр $64$ ширхэг ногоон цэг өгөгдөв. Нэг цэгийг сонгон улаанаар будаад дараах үйлдлийг нэг ногоон цэг үлдэх хүртэл хийнэ.
Байгаа цэгээсээ цагийн зүүний дагуу нэг ногоон цэг алгасаад хоёр дахь ногоон цэг рүү шилжинэ. Очсон цэгээ улаанаар будаад яг өмнө будсан цэгтэйгээ хэрчмээр холбоно.
Ингэхэд аль ч гурван хэрчим нэг цэгт огтлолцдоггүй байв. Оройн цэгүүдээс ялгаатай нийт хэдэн огтлолцлын цэг үүсэх вэ?
Байгаа цэгээсээ цагийн зүүний дагуу нэг ногоон цэг алгасаад хоёр дахь ногоон цэг рүү шилжинэ. Очсон цэгээ улаанаар будаад яг өмнө будсан цэгтэйгээ хэрчмээр холбоно.
Ингэхэд аль ч гурван хэрчим нэг цэгт огтлолцдоггүй байв. Оройн цэгүүдээс ялгаатай нийт хэдэн огтлолцлын цэг үүсэх вэ?
2.
Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төвийг $O$, түүний орто төвийг $H$ гэе. $AC$ тал дээр $M$ цэгийг, $AB$ тал дээр $N$ цэгийг $AMHN$ дөрвөн өнцөгт параллеограмм байхаар тэмдэглэв. Энэ параллеограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгийг $P$ гэвэл $OP$ ба $MN$ шулуунууд хоорондоо перпендикуляр гэж батал.
3.
Сөрөг биш $a$, $b$, $c$ тоонуудын аль ч хоёрын нийлбэр $1$-ээс хэтэрдэггүй бол
\begin{equation}
\dfrac{2}{9} \le (1-a-b)(1-b-c)(1-c-a) + (1-a-b)c^2+ (1-b-c)a^2 + (1-c-a)b^2 + 2abc \le 1
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
\dfrac{2}{9} \le (1-a-b)(1-b-c)(1-c-a) + (1-a-b)c^2+ (1-b-c)a^2 + (1-c-a)b^2 + 2abc \le 1
\end{equation}
байна гэж батал.
4.
Бодит тоон $(x, y, z)$ гурвалыг
\begin{equation}
x^{3} + y + z = y^{3} + z + x = z^{3} + x + y = 0
\end{equation}
нөхцөлийг хангадаг бол сайн гэе. Бүх сайн гурвалыг авч үзэхэд $x+ y +z$ нийлбэр хэдэн ялгаатай утга авах вэ?
\begin{equation}
x^{3} + y + z = y^{3} + z + x = z^{3} + x + y = 0
\end{equation}
нөхцөлийг хангадаг бол сайн гэе. Бүх сайн гурвалыг авч үзэхэд $x+ y +z$ нийлбэр хэдэн ялгаатай утга авах вэ?
5.
Зусланд $62$ хүүхэд байсан ба хүүхдүүд бүлгүүдэд хуваагддаг байв. Хүүхэд бүр яг нэг бүлэгт харьяалагдах ба бүлэг бүр сондгой тооны хүүхэдтэй. Хүүхдүүдийг нэг бүлгийн ямар ч хоёр хүүхдийн хооронд тэр бүлгийн биш ядаж хоёр хүүхэд зогсдог байхаар тойрог болгон зогсоож болдог бол зусланд хамгийн цөөндөө хэдэн бүлэг байж болох вэ?
6.
Өгөгдсөн бүхэл тоон $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $\dots$ төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүний хувьд $a_{k}$ нь $3^{k} k!$ тоонд хуваагддаг байв. Бүхэл тоон $b_{0}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $\dots$ төгсгөлгүй дарааллыг
\begin{equation}
b_{0} = a_{0}, \quad b_{1} = a_{0} + a_{1}, \quad b_{2} = a_{0} + 2a_{1} + a_{2},\quad b_{3} = a_{0} + 3a_{1} + 3a_{2} + a_{3}
\end{equation}
гэх мэтчилэн $n \ge 0$ хувьд $b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}a_{k}$ гэж тодорхойлъё. Энд $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ биномын коэффициент.
$b_{0}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $\dots$ дарааллын ядаж $m \ge 1$ ширхэг гишүүн тэгтэй тэнцүү байдаг бол энэ дарааллын бүх гишүүн $3^{m}$ тоонд хуваагдана гэж харуул.
\begin{equation}
b_{0} = a_{0}, \quad b_{1} = a_{0} + a_{1}, \quad b_{2} = a_{0} + 2a_{1} + a_{2},\quad b_{3} = a_{0} + 3a_{1} + 3a_{2} + a_{3}
\end{equation}
гэх мэтчилэн $n \ge 0$ хувьд $b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}a_{k}$ гэж тодорхойлъё. Энд $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ биномын коэффициент.
$b_{0}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $\dots$ дарааллын ядаж $m \ge 1$ ширхэг гишүүн тэгтэй тэнцүү байдаг бол энэ дарааллын бүх гишүүн $3^{m}$ тоонд хуваагдана гэж харуул.