ММО-62, II даваа II шат, бүс, T (ДБ) ангилал
1.
$1$, $2$, $\dots$, $10$ тоонуудын $a_{1}$, $a_{2}$, $\dots$, $a_{10}$ сэлгэмлийн хувьд
\begin{equation}
S = 1 a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 10a_{10}
\end{equation}
нийлбэрийг авч үзье. $S$ нийлбэр тэгш байх сэлгэмлийн тоо нь $S$ нийлбэр сондгой байх сэлгэмлийн тоотой тэнцүү гэж батал.
\begin{equation}
S = 1 a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 10a_{10}
\end{equation}
нийлбэрийг авч үзье. $S$ нийлбэр тэгш байх сэлгэмлийн тоо нь $S$ нийлбэр сондгой байх сэлгэмлийн тоотой тэнцүү гэж батал.
2.
$1! + 2! + \dots + n!$ нийлбэр натурал тооны хоёр эсвэл түүнээс их натурал зэрэгт болдог байх бүх натурал $n$ тоог ол.
3.
Дурын $n$ натурал тооны хувьд
\begin{equation}
3^{n-\frac12} \, \sqrt{n-\frac12} < \sum_{k = 1}^{n} 2^{k-\frac12}\, \sqrt{k}\, \binom{n}{k} < 3^{n-\frac12} \, \sqrt{n}
\end{equation}
байна гэж батал.
\begin{equation}
3^{n-\frac12} \, \sqrt{n-\frac12} < \sum_{k = 1}^{n} 2^{k-\frac12}\, \sqrt{k}\, \binom{n}{k} < 3^{n-\frac12} \, \sqrt{n}
\end{equation}
байна гэж батал.
4.
$AB < AC$ байх $ABC$ гурвалжны дотор орших $P$ цэгээс $ABC$ гурвалжны $A$ оройн дотоод биссектрис руу буулгасан перпендикуляр шулуун $AB$ шулууныг $D$ цэгээр, $AC$ шулууныг $E$ цэгээр огтолдог байв. $BDP$ гурвалжныг багтаасан тойрог $CEP$ гурвалжныг багтаасан тойргийг дахин $Q$ цэгт огтолдог бол $PQ$ шулуун $P$ цэгийн сонголтоос үл хамааран ямагт нэг цэгийг дайрна гэж батал.
5.
Бодит тоонуудаас тогтох $2 \times 2$ хэмжээтэй матрицын $(A, B, C)$ гурвалыг
\begin{equation}
\begin{cases}
A^{2} = AB + I\\
B^{2} = BC + I\\
C^{2} = CA + I
\end{cases}
\end{equation}
систем тэгшитгэлийг хангадаг бол сайн гэе. Энд $I$ нэгж матриц.
\begin{equation}
\begin{cases}
A^{2} = AB + I\\
B^{2} = BC + I\\
C^{2} = CA + I
\end{cases}
\end{equation}
систем тэгшитгэлийг хангадаг бол сайн гэе. Энд $I$ нэгж матриц.
- Сайн гурвал төгсгөлгүй олон олдоно гэж батал.
- Рационал тоонуудаас тогтох сайн гурвал олдохгүй гэж батал.
6.
$n \ge 2$ гэе. $\overbrace{11\dots 1}^{n}$ тоонд хуваагдах $62n$-ээс хэтрэхгүй оронтой бүх тоог залгуулан бичихэд үүсэх тоонд $1$ ба $2$ цифрүүд ижил тоотой орохыг харуул.