1. $(1, 2, \dots, 7)$ дарааллын хэдэн ширхэг $(a_1, a_2, \dots, a_7)$ сэлгэмэлийн хувьд
\begin{equation}
S = 1 a_1+2 a_2+\dots +7 a_7
\end{equation}
нийлбэр сондгой байх вэ? Энд сэлгэмэл гэж өгөгдсөн дарааллын гишүүдийн байрыг дураараа сольж бичсэн дарааллыг хэлнэ. Жишээлбэл $(1, 2, 3)$ дараалал
\begin{equation}
(1, 2, 3) \qquad (1, 3, 2)\qquad (2, 1, 3)\qquad (2, 3, 1)\qquad (3, 1, 2)\qquad (3, 2, 1)
\end{equation}
гэсэн зургаан сэлгэмэлтэй.

2. Ялгаатай $p$, $q$ анхны тоонуудын хувьд $m!-n! = pq^{2}$ гэж бичигддэг байх бүх $m > n \ge 2$ натурал тоон хосыг ол.

3. $AB\neq AC$ байх хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны дотор $\angle BAC$ өнцгийн дотоод биссектрис дээр $D$ цэг авав. $ADB$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $D$ оройг агуулаагүй $AB$ нум дээр $E$ цэгийг, $ADC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $D$ оройг агуулаагүй $AC$ нум дээр $F$ цэгийг $\angle EAB=\angle FAC$ байхаар авав. $BD$ хэрчмийн дунджад татсан перпендикуляр, $\angle BDE$ өнцгийн биссектрисстэй $K$ цэгт огтлолцоно. $CD$ хэрчмийн дунджад татсан перпендикуляр, $\angle CDF$ өнцгийн биссектрисстэй $L$ цэгт огтлолцоно. $KL$ хэрчмийн дундажд татсан перпендикуляр шулуун $\angle BAC$ өнцгийн дотоод биссектристэй $P$ цэгт огтлолцоно.
$\angle KPL+\angle BAF=180^\circ$ гэж батал.

4. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $B$ оройн өндрийн суурийг $D$ гээд $C$ оройн өндрийн суурийг $E$ гэе. $D$ цэгийг $B$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад гарах цэгийг $P$ гээд $E$ цэгийг $C$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад гарах цэгийг $Q$ гэе. $APQ$ гурвалжны $A$ оройн өндрийн суурь $H$ бол $\angle AHE=\angle AHD$ байна гэж батал.

5. $a_{1} = 1$ ба $n \ge 1$ үед
\begin{equation}
a_{n+1} = {\sqrt{2 a_{n}(a_{n}+1)}}
\end{equation}
гэж тодорхойлогдсон дарааллын хувьд $n \ge 5$ бол $2^{n+1} < a_{n}^{2} < 2^{n+2}$ байна гэж батал.

6. $81$ нүдтэй $9\times 9$ хүснэгтийн нүд бүр ядаж нэг хар нүдтэй хөрш байхаар $N$ ширхэг нүдийг хар өнгөөр будав. Будагдаагүй нүд бүр хоёроос цөөнгүй хар нүдтэй хөрш байсан бол $N$ тоо хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?

Энд ерөнхий цэгтэй хоёр нүдийг (хэвтээ тэнхлэг, босоо тэнхлэг, диагоналийн дагуу) хөрш гэж үзнэ. Жишээлбэл зүүн дээд булангийн нүд гурван хөрштэй.