ММО-62, II даваа II шат, нийслэл, D (7-8) ангилал
1.
$1! + 2! + \dots + n!$ нийлбэр бүтэн квадрат болдог бүх натурал $n$ тоог ол.
2.
Тэгээс ялгаатай $a$, $b$, $c$ тоонуудын нийлбэр тэгээс ялгаатай байв. Хэрэв
\begin{equation}
ab+\frac{16}{c}, \qquad bc+\frac{30}{a}, \qquad ca+\frac{28}{b}, \qquad \frac{2}{a+b+c}
\end{equation}
илэрхийллүүд ижил утга авдаг бол энэ утгыг ол.
\begin{equation}
ab+\frac{16}{c}, \qquad bc+\frac{30}{a}, \qquad ca+\frac{28}{b}, \qquad \frac{2}{a+b+c}
\end{equation}
илэрхийллүүд ижил утга авдаг бол энэ утгыг ол.
3.
Өгсөн тоог өөрийг нь $5$-р үржүүлсэн тоогоор, эсвэл сүүлийн цифрийг нь тайран авч $2$-оор үржүүлээд, үлдэх тооноос хассан тоогоор сольж болно. Энд хоёр дахь үйлдлийг зөвхөн үр дүн нь натурал тоо гардаг үед зөвшөөрнө.
Жишээ нь $371$-г $5\cdot 371 = 1855$ эсвэл $37−2\cdot 1 = 35$ тоогоор сольж болно. Анх $1$ гэсэн тоо өгсөн гэе.
Жишээ нь $371$-г $5\cdot 371 = 1855$ эсвэл $37−2\cdot 1 = 35$ тоогоор сольж болно. Анх $1$ гэсэн тоо өгсөн гэе.
- Хэдэн удаа үйлдэл хийгээд $26$-г гаргаж авч чадна гэж батал.
- Яг $2025$ удаа үйлдэл хийж $26$-г гаргаж авч чадахгүй гэж батал.
4.
$ACB=90^\circ$ байх $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжны $AC$, $BC$, $AB$ талуудын дундаж цэгүүдийг харгалзан $X$, $Y$, $Z$ гэж тэмдэглэе. $ABC$ гурвалжны гадна талд $AXF$ ба $BYE$ зөв гурвалжнууд байгуулав. $\angle FZE$ өнцгийг ол.