EGMO-2026 сонгон шалгаруулалт №1, F (11-12) ангилал

1.

  1. Бүтэн бодолт 7 оноо,

  2. $PYDX$ тойрогт багтана гэж харуулбал 1 оноо,

  3. $AYDB$ тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо,

2. Нэг үйлдлийг хоёр удаа давтахад $(x,y)\to(x,y)$ болохыг харуулахад 2 оноо. (*)

  1. (*) ашиглан 1-хэсгийг баталбал +2 оноо.

  2. (*) ашиглан 1-хэсгийг баталбал +3 оноо: Үйлдлийг ээлжилж ашиглаад тоонууд буурах хэсгийг батал $+1$ оноо, өсөх хэсгийг баталбал $+2$ оноо.



Бусад бодолтын хувьд:

  1. 1-р хэсгийг баталбал 4 оноо.

  2. 2-р хэсгийг баталбал 3 оноо.

3.

  1. Бүтэн бодолт 7 оноо,

  2. $\forall n\in \mathbb{N}$ тооны хувьд $f(n)\geq n$ гэж харуулбал 2 оноо,

  3. $\exists a \in \mathbb{N}\setminus \{1\} :f(a)=a $ гэдгээс $\forall n\in \mathbb{N}: f(n)=n$ гэж харуулбал 2 оноо,


    1. $f$ эрс өснө гэж харуулбал 1 оноо,

    2. $\forall n \in \mathbb{N}\setminus \{1\}$ хувьд $f(n)>n$ үед шийдгүй гэж харуулбал 2 оноо,



  5. Хариу шалгаагүй тохиолдолд 1 оноо хасна.

  6. $f(n)=n$ шийд эсвэл $f(1)=1$ гэж хэлсэн үед 0 оноо.

4. 1-р бодолт.

  1. Бүтэн бодолт 7 оноо,

  2. $x^4-4x^3+5x^2-2x=-xyzw$ гэж харуулбал 2 оноо,

  3. дээрх нөхцлөөс $x\leq 2$ гэж харуулбал 1 оноо,

  4. $(x^4-4x^3+5x^2-2x)'=4x^3-12x^2+10x-2$-ийг авч үзэх замаар $1+\frac{\sqrt{2}}{2}\leq x$ гэж харуулбал 3 оноо,

  5. $x=2$ болон $x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ байх $(x,y,z,w)$ дөрвөл олбол 1оноо.



2-р бодолт.

  1. $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ гэж харуулбал 4 оноо,

    Хэрвээ зөвхөн $\sum (x-1)=0$, $\sum (x-1)^2=2$, $\sum (x-1)^3=0$ гэж харуулбал 2 оноо,

  2. $2\geq x\geq 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ гэж харуулбал 2 оноо,

  3. $x=2$ болон $x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ байх $(x,y,z,w)$ дөрвөл олбол 1оноо.

5.

  1. Бүтэн бодолт 7 оноо,

  2. $pq(p+1)(q+1)+1=a^2$ гээд $pq\nmid a-1$, $pq\nmid a+1$ гэж харуулбал 3 оноо,

  3. $p=q$ тохиолдолыг дурдаагүй бол 1 оноо хасна,

  4. $p=2$ тохиолдолыг дурдаагүй бол 2 оноо хасна,

6.

  1. Бүтэн бодолт 7 оноо,

  2. $XJ\parallel AM$, $XK\parallel AN
    $ байх $X$ цэг авбал 1 оноо.